1. El problema nos da que $n^2 + n \in \mathbb{N}$, es decir, $n$ es un número natural y queremos analizar propiedades relacionadas. 2. Observamos que $n(n+1)$ siempre es un producto de dos números consecutivos, por lo que es siempre par, porque uno de ellos es par. 3. Por lo tanto, $\frac{n(n+1)}{2}$ es un número natural para todo $n \in \mathbb{N}$, porque divide por 2 un número par. 4. Notamos que la suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 3: $$ (n-1) + n + (n+1) = 3n $$ 5. También, $n^2 - 1^2 = n^2 -1$ es múltiplo de 3 para algunos valores de $n$. Por ejemplo, para $n=2$, $2^2 - 1 = 3$, múltiplo de 3. 6. Se pide verificar la expresión: $$ \frac{n(n+1)}{n+5} \in \mathbb{N} $$ Esto significa que $n+5$ debe dividir a $n(n+1)$. 7. Finalmente, la diferencia entre números naturales consecutivos puede ser impar o par: La diferencia de cuadrados consecutivos es: $$ (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 $$ que siempre es impar. **Respuesta final:** La expresión $\frac{n(n+1)}{2}$ siempre es natural para $n\in \mathbb{N}$. Otras propiedades relacionadas son la suma de tres números consecutivos es múltiplo de 3, y la diferencia de cuadrados consecutivos es siempre impar.