1. Étudier la parité des nombres pour un $n \in \mathbb{N}$ : - Pour $A = 6n + 22$ : $6n$ est pair car $6$ est pair, $22$ est pair, donc $A = $ pair + pair = pair. - Pour $B = 12n + 123$ : $12n$ est pair, $123$ est impair, donc $B = $ pair + impair = impair. - Pour $C = 1 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ : Examinons la parité de $(n+1)^2$ et $(n+2)^2$ : Un carré d'un nombre pair est pair, d'un impair est impair. Si $n$ est pair : - $n+1$ impair donc $(n+1)^2$ impair - $n+2$ pair donc $(n+2)^2$ pair Donc $C = 1 + impair + pair = 1 + impair + pair = paire + impair = impair$ Si $n$ est impair : - $n+1$ pair donc $(n+1)^2$ pair - $n+2$ impair donc $(n+2)^2$ impair Donc $C = 1 + pair + impair = impair$ Conclusion : $C$ est impair quelle que soit la parité de $n$. - Pour $D = n^3 - n$ : Factorisons : $D = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$, produit de trois entiers consécutifs. Parmi trois nombres consécutifs, il y a forcément un pair, donc $D$ est multiple de 2, donc $D$ est pair. 2. Soit $a$ un entier naturel multiple de 7, donc $a = 7k$ pour un $k \in \mathbb{N}$, et $b$ un nombre impair. Montrer que $4a + 7b - 7$ est multiple de 14. Calcul : $$4a + 7b - 7 = 4(7k) + 7b -7 = 28k + 7b - 7 = 7(4k + b -1)$$ Puisque $4k + b - 1$ est un entier, $4a + 7b - 7$ est divisible par 7. Pour montrer la divisibilité par 2 (et donc par 14), regardons la parité : - $4a = 4\times 7k = 28k$ est pair. - $7b$ est impair fois impair = impair (7 impair et b impair). En effet, impair fois impair = impair. - $-7$ est impair. Donc $4a + 7b -7 = pair + impair - impair = pair + (impair - impair) = pair + pair = pair$. Donc la somme est paire et divisible par 2. Comme divisible par 7 et par 2, $4a + 7b -7$ est multiple de 14. 3. Montrer que 7 divise le nombre $D = 2^{n+3} - 2^{n+1} - 2^n$. Simplifions : $$D = 2^{n+3} - 2^{n+1} - 2^n = 2^n (2^3 - 2^1 - 1) = 2^n (8 - 2 - 1) = 2^n \times 5$$ Il s'agit donc de montrer que $7 \mid 5 \times 2^n$. Or $5$ et $7$ sont premiers entre eux. Vérifions la divisibilité modulo 7 : calculons $D \bmod 7$. La suite $2^n \bmod 7$ est périodique de période 3 : - $2^0 = 1 \bmod 7$ - $2^1 = 2 \bmod 7$ - $2^2 = 4 \bmod 7$ - $2^3 = 8 = 1 \bmod 7$ Donc $2^n \bmod 7$ prend les valeurs $1, 2, 4$ en boucle. Essayons $D \bmod 7$ pour $n = 0, 1, 2$ : - $n=0$: $D=2^{3} - 2^{1} - 2^{0} = 8 - 2 -1 =5$ non divisible par 7 Cette contradiction montre que l'énoncé a probablement une erreur ou une faute de frappe dans la définition de $D$. Sinon, si on corrige l'expression en $D = 2^{n+3} - 2^{n+1} - 2^n$ est fausse (car $2^n \times 5$ n'est pas divisible par 7). Peut-être que l'expression exacte à montrer est autre. Passons à l'exercice 4. 1. Vérifier que $A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} < 0$. Calculons approximativement : - $4\sqrt{5} \approx 4 \times 2.236 = 8.944$ - $9 - 8.944 = 0.056$, donc $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \approx \sqrt{0.056} \approx 0.236$ - $9 + 8.944 = 17.944$, donc $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \approx \sqrt{17.944} \approx 4.236$ Donc $A = 0.236 - 4.236 = -4$ qui est négatif donc $A<0$. 2. Montrer que $A^2 = 16$ et en déduire $A$. Calcul : $$A^2 = \left(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\right)^2 = (\sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^2 + (\sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2 - 2\sqrt{(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})}$$ $$= (9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) - 2 \sqrt{81 - (4\sqrt{5})^2}$$ $$= 9 - 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{81 - 16 \times 5}$$ $$= 18 - 2\sqrt{81 - 80} = 18 - 2\sqrt{1} = 18 - 2 = 16$$ Donc $A^2 = 16$. Puisque $A < 0$, on en déduit que $A = -4$. Réponses :