1. a/ Montrons que $n^2$ et 8 sont premiers entre eux. Puisque $n$ est un entier impair, $n$ ne divise pas 2. Le seul facteur premier de 8 est 2, donc $8 = 2^3$. Pour que $n^2$ et 8 aient un diviseur commun, $n$ devrait être divisible par 2, ce qui est impossible car $n$ est impair. Donc, $\mathrm{PGCD}(n^2,8) = 1$, ils sont premiers entre eux. b/ Calculons $\mathrm{PGCD}(8, n^2 + 3)$. Puisque $n$ est impair, $n^2$ est impair, donc $n^2 \equiv 1 \pmod 8$ ou $n^2 \equiv 1, 3, 5, 7$? Testons les carrés impairs modulo 8: $1^2 =1$, $3^2=9\equiv 1$, $5^2=25\equiv 1$, $7^2=49\equiv 1 \pmod {8}$. Donc $n^2 \equiv 1 \pmod {8}$. Alors $n^2 + 3 \equiv 1 + 3 = 4 \pmod {8}$. Ainsi, $\mathrm{PGCD}(8, n^2 + 3) = \mathrm{PGCD}(8,4) = 4$. 2. a/ Montrons que 12 divise $A = (n^4 -1)(n^2 + 2n)$ et que 24 divise $3A$. Factorisons $n^4 -1 = (n^2 -1)(n^2 +1) = (n-1)(n+1)(n^2 +1)$. Comme $n$ est impair supérieur à 2, $n-1$, $n$, $n+1$ sont trois entiers consécutifs dont deux sont pairs et parmi eux un divisible par 4. Le produit $(n-1)(n+1)$ est donc divisible par 8 puisque c'est le produit de deux entiers pairs consécutifs. De plus, $n^2 + 2n = n(n+2)$, produit de deux entiers pairs ou impairs. Comme $n$ impair, $n+2$ impair aussi, donc $n(n+2)$ est impair fois impair? Non: $n$ impair, $n+2$ impair, produit impair. Donc $(n^4 -1)(n^2 +2n)$ est produit de (pair) * (impair). Mais $n-1$ et $n+1$ incluent un multiple de 4 et un multiple de 2, donc $(n^4 -1)$ est divisible par 8. Donc $A$ divisible par 8 * impair = div par 8. Vérifions la divisibilité par 3. Par le théorème des restes, $n$ impair, $n^2 \equiv 1 \pmod 3$ (car 1 ou 2 au carré mod 3 donne 1). Alors $n^4 \equiv (n^2)^2 \equiv 1^2 =1 \pmod 3$. Donc $n^4 -1 \equiv 0 \pmod 3$, donc divisible par 3. Ainsi $A$ est divisible par $3 \times 8=24$? Pas encore. Car $n^2 + 2n$ modulo 2 est impair. Donc $A$ divisible par 8 et par 3, soit par 24. Vérifions pour $3A$: Comme $A$ divisible par 12, $3A$ divisible par 36. Donc 24 divise $3A$ forcément. b/ Déduisons $\mathrm{PPCM}(n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 15 ; 12)$. Factorisons $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 15$: Cette expression peut s’écrire comme $(n^4 - n^2) + (2n^3 - 2n) + 15$. Or $n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1)$ et $2n^3 - 2n = 2n(n^2 - 1)$. Donc $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 15 = (n^2 + 2n)(n^2 - 1) + 15 = A + 15$. Comme $A$ divisible par 12, donc $A = 12k$ pour un entier $k$. Alors $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n + 15 = 12k + 15$. Calculez $\mathrm{PGCD}(12, 12k + 15)$: $\mathrm{PGCD}(12, 12k + 15) = \mathrm{PGCD}(12, 15)$ car $12k$ multiple de 12. $\mathrm{PGCD}(12, 15) = 3$. Donc $\mathrm{PPCM}$ de ces deux nombres est $$\mathrm{PPCM}(12, 12k +15) = \frac{12 (12k +15)}{3} = 4(12k +15) = 48k + 60.$$ 3. Calculons $\mathrm{PGCD}(n+2, n+10)$. Soustrayons les deux nombres: $$(n+10) - (n+2) = 8.$$ Donc $$\mathrm{PGCD}(n+2, n+10) = \mathrm{PGCD}(n+2, 8).$$ Or $n$ impair implique $n+2$ impair + pair = impair, donc $n+2$ impair et 8 pair. Ainsi, $\mathrm{PGCD}(n+2, 8) = 1$. Donc $\boxed{\mathrm{PGCD}(n+2, n+10) = 1}$.