1. Énoncé du problème : Monsieur Yao commence avec un salaire mensuel initial $U_0 = 125000$f en 2015. Chaque année, son salaire augmente de 12000f. On doit calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$, puis le salaire en 2020, exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$, et calculer la somme totale dépensée après 5 ans. 2. Formule et règles : Le salaire suit une suite arithmétique où chaque terme augmente de 12000f par rapport au précédent. La formule générale est $$U_n = U_0 + n \times r$$ avec $r = 12000$. 3. Calcul de $U_1$, $U_2$, $U_3$ : - $U_1 = 125000 + 1 \times 12000 = 137000$ - $U_2 = 125000 + 2 \times 12000 = 149000$ - $U_3 = 125000 + 3 \times 12000 = 161000$ 4. Salaire au premier janvier 2020 : L'année 2020 correspond à $n=5$ (car 2015 + 5 = 2020), donc $$U_5 = 125000 + 5 \times 12000 = 125000 + 60000 = 185000$$ 5. Expression de $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ : $$U_{n+1} = U_n + 12000$$ Cela signifie que chaque année, le salaire augmente de 12000f. 6. a) Justification de la somme totale après 5 ans : La somme totale des salaires des 5 premières années est $$S_5 = U_0 + U_1 + U_2 + U_3 + U_4$$ On peut utiliser la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : $$S_5 = 5 \times \frac{U_0 + U_4}{2}$$ En multipliant par 12 (pour passer du salaire mensuel à la dépense annuelle), on obtient : $$\text{Dépense totale} = 12 \times S_5 = 12 \times (U_0 + U_1 + U_2 + U_3 + U_4)$$ 6. b) Calcul numérique de la somme : Calculons $U_4$ : $$U_4 = 125000 + 4 \times 12000 = 125000 + 48000 = 173000$$ Somme des salaires mensuels : $$S_5 = 125000 + 137000 + 149000 + 161000 + 173000 = 745000$$ Dépense totale annuelle : $$12 \times 745000 = 8940000$$ Réponse finale : Monsieur Yao percevra 185000f en janvier 2020, et l'entreprise aura dépensé 8940000f pour ses salaires durant les 5 premières années.