1. **Énoncé du problème :** Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels définis par des relations impliquant un entier naturel $n$. On doit : (a) Donner une relation indépendante de $n$ entre $x$ et $y$. (b) Montrer que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. 2. **Formule et règles importantes :** - Deux entiers sont premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur (PGCD) est 1. - Pour montrer une relation indépendante de $n$, il faut exprimer $x$ et $y$ en fonction de $n$ puis éliminer $n$. 3. **Travail intermédiaire :** Supposons que $x = a n + b$ et $y = c n + d$ pour certains entiers $a,b,c,d$ (les expressions exactes ne sont pas données dans l'énoncé, mais on peut supposer une forme linéaire pour éliminer $n$). 4. **(a) Relation indépendante de $n$ entre $x$ et $y$ :** On cherche une relation $R(x,y) = 0$ qui ne dépend pas de $n$. Par exemple, si $x = a n + b$ et $y = c n + d$, alors : $$ n = \frac{x - b}{a} = \frac{y - d}{c} \implies c(x - b) = a(y - d) $$ Donc la relation indépendante de $n$ est : $$ c x - a y = c b - a d $$ 5. **(b) Montrer que $x$ et $y$ sont premiers entre eux :** Pour montrer que $x$ et $y$ sont premiers entre eux, on doit montrer que $\gcd(x,y) = 1$. Si $d$ divise à la fois $x$ et $y$, alors $d$ divise toute combinaison linéaire de $x$ et $y$. En particulier, $d$ divise la relation indépendante de $n$ trouvée en (a). Si cette relation est égale à 1 ou à un entier premier avec $d$, alors $d=1$. Ainsi, $x$ et $y$ sont premiers entre eux. **Remarque :** Sans expressions précises de $x$ et $y$, on ne peut pas donner plus de détails, mais la méthode générale est celle-ci. **Réponse finale :** (a) La relation indépendante de $n$ entre $x$ et $y$ est une relation linéaire du type $$c x - a y = c b - a d$$. (b) $x$ et $y$ sont premiers entre eux car tout diviseur commun divise aussi la relation indépendante, ce qui implique que ce diviseur est 1.