1. Énonçons le problème : Trouver tous les entiers naturels $n$ tels que $\sqrt{\frac{11n - 5}{n + 4}}$ soit un entier naturel. 2. Posons $k = \sqrt{\frac{11n - 5}{n + 4}}$ avec $k \in \mathbb{N}$. 3. Élevons au carré : $$k^2 = \frac{11n - 5}{n + 4}$$ 4. Multiplions les deux côtés par $n + 4$ (avec $n \neq -4$) : $$k^2 (n + 4) = 11n - 5$$ 5. Développons : $$k^2 n + 4k^2 = 11n - 5$$ 6. Regroupons les termes en $n$ d'un côté : $$k^2 n - 11n = -5 - 4k^2$$ 7. Factorisons $n$ : $$n(k^2 - 11) = -5 - 4k^2$$ 8. Isolons $n$ : $$n = \frac{-5 - 4k^2}{k^2 - 11}$$ 9. Pour que $n$ soit un entier naturel, le dénominateur $k^2 - 11$ doit diviser le numérateur $-5 - 4k^2$ et $n \geq 0$. 10. Posons $d = k^2$. Alors : $$n = \frac{-5 - 4d}{d - 11}$$ 11. Cherchons les entiers $d = k^2$ tels que $n$ est entier naturel. 12. Testons les valeurs entières de $d$ pour lesquelles le dénominateur $d - 11 \neq 0$ et $n \geq 0$. 13. Pour $d = 0$ : $$n = \frac{-5 - 0}{0 - 11} = \frac{-5}{-11} = \frac{5}{11} \notin \mathbb{N}$$ 14. Pour $d = 1$ : $$n = \frac{-5 - 4}{1 - 11} = \frac{-9}{-10} = \frac{9}{10} \notin \mathbb{N}$$ 15. Pour $d = 4$ : $$n = \frac{-5 - 16}{4 - 11} = \frac{-21}{-7} = 3 \in \mathbb{N}$$ 16. Vérifions que $k = \sqrt{d} = 2$ est entier, ce qui est vrai. 17. Pour $d = 9$ : $$n = \frac{-5 - 36}{9 - 11} = \frac{-41}{-2} = 20.5 \notin \mathbb{N}$$ 18. Pour $d = 16$ : $$n = \frac{-5 - 64}{16 - 11} = \frac{-69}{5} = -13.8 \notin \mathbb{N}$$ 19. Pour $d = 25$ : $$n = \frac{-5 - 100}{25 - 11} = \frac{-105}{14} = -7.5 \notin \mathbb{N}$$ 20. Pour $d = 36$ : $$n = \frac{-5 - 144}{36 - 11} = \frac{-149}{25} = -5.96 \notin \mathbb{N}$$ 21. Pour $d = 49$ : $$n = \frac{-5 - 196}{49 - 11} = \frac{-201}{38} \notin \mathbb{N}$$ 22. Pour $d = 64$ : $$n = \frac{-5 - 256}{64 - 11} = \frac{-261}{53} \notin \mathbb{N}$$ 23. Pour $d = 81$ : $$n = \frac{-5 - 324}{81 - 11} = \frac{-329}{70} \notin \mathbb{N}$$ 24. Pour $d = 100$ : $$n = \frac{-5 - 400}{100 - 11} = \frac{-405}{89} \notin \mathbb{N}$$ 25. Seule la valeur $d = 4$ donne un $n$ entier naturel, $n = 3$. 26. Vérifions la condition initiale : $$\sqrt{\frac{11 \times 3 - 5}{3 + 4}} = \sqrt{\frac{33 - 5}{7}} = \sqrt{\frac{28}{7}} = \sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}$$ 27. Conclusion : La seule solution est $\boxed{n = 3}$.