1. **Énoncé du problème :** Nadine a une revue de moins de 100 pages, numérotées de 1 à $n$. La revue est assemblée en cahiers, chaque feuille comportant 4 pages imprimées recto-verso. Les feuilles sont détachées et mélangées. Sur un côté d'une feuille, le produit des numéros de pages est 900. On cherche le produit des numéros de pages sur l'autre côté de cette même feuille. 2. **Compréhension de la structure :** Chaque feuille contient 4 pages : deux sur le recto, deux sur le verso. Les pages sont numérotées de 1 à $n$. Le nombre total de pages $n$ est un multiple de 4 (car cahiers complets). 3. **Disposition des pages dans un cahier :** Pour un cahier de $n$ pages, les pages sont disposées de façon que la somme des pages opposées sur une feuille soit toujours $n+1$. Par exemple, la page 1 est face à la page $n$, la page 2 face à la page $n-1$, etc. 4. **Identification des pages sur une feuille :** Chaque feuille a 4 pages : - Recto : pages $p$ et $q$ - Verso : pages $r$ et $s$ avec $p+q = r+s = n+1$ (car pages opposées) 5. **Données du problème :** Sur un côté, le produit des pages est 900 : $$p \times q = 900$$ 6. **Recherche des facteurs de 900 compatibles avec la disposition :** Les facteurs de 900 (inférieurs à 100) sont : $1 \times 900$, $2 \times 450$, $3 \times 300$, $4 \times 225$, $5 \times 180$, $6 \times 150$, $9 \times 100$, $10 \times 90$, $12 \times 75$, $15 \times 60$, $18 \times 50$, $20 \times 45$, $25 \times 36$, $30 \times 30$ Seuls les facteurs où les deux nombres sont entre 1 et 100 sont possibles. Donc candidats : $(25,36)$, $(30,30)$ (mais 30 et 30 identiques, pas possible pour deux pages différentes). 7. **Vérification de la somme $p+q = n+1$ :** Pour $(25,36)$, $p+q=61$ donc $n+1=61$ donc $n=60$. 8. **Pages de l'autre côté :** Les pages opposées à $p$ et $q$ sont $r = n+1 - p$ et $s = n+1 - q$. Donc : $$r = 61 - 25 = 36$$ $$s = 61 - 36 = 25$$ Mais ce sont les mêmes pages, donc ce n'est pas possible. 9. **Reconsidération :** En fait, sur une feuille, les pages sont disposées ainsi : - Recto : pages $a$ et $b$ - Verso : pages $c$ et $d$ avec $a + d = b + c = n + 1$ Donc si sur un côté on a $a$ et $b$ avec $a imes b = 900$, alors de l'autre côté on a $c = n+1 - b$ et $d = n+1 - a$. 10. **Calcul du produit de l'autre côté :** Le produit recherché est : $$c \times d = (n+1 - b)(n+1 - a)$$ 11. **Avec $a=25$, $b=36$, $n+1=61$ :** $$c = 61 - 36 = 25$$ $$d = 61 - 25 = 36$$ Donc le produit est : $$25 \times 36 = 900$$ 12. **Conclusion :** Le produit des numéros de pages de l'autre côté est aussi 900. **Réponse finale :** $$\boxed{900}$$