1. **Énoncé du problème :** On suppose qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\sqrt{4n + 1026} \in \mathbb{N}$. Nous cherchons à montrer une contradiction. 2. **Développement :** Par hypothèse, posons $\sqrt{4n + 1026} = k$ avec $k \in \mathbb{N}$. Cela donne : $$4n + 1026 = k^2$$ 3. **Réarrangement et parité :** On peut écrire : $$4n + 1026 = k^2 \implies 2(2n + 513) = k^2$$ La quantité $k^2$ est multiple de 2, donc $k^2$ est paire. 4. **Conséquence sur $k$ :** Puisque $k^2$ est pair, $k$ est pair. Donc il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que : $$k = 2p$$ 5. **Substitution et simplification :** Substituons $k = 2p$ dans l'équation initiale : $$4n + 1026 = (2p)^2 = 4p^2$$ Divisons par 4 : $$n + \frac{1026}{4} = p^2$$ Ce qui simplifie à : $$n + 256.5 = p^2$$ 6. **Analyse finale :** Comme $n$ et $p$ sont des naturels, alors $n + 256.5$ doit être un carré parfait naturel. Or, $256.5$ n'est pas un entier, donc $n + 256.5$ ne peut pas être un entier naturel, ce qui est une contradiction. 7. **Conclusion :** L'hypothèse initiale est donc fausse, et il n'existe aucun $n \in \mathbb{N}$ tel que $\sqrt{4n + 1026} \in \mathbb{N}$. En résumé, la rédaction est correcte dans sa démarche par l'absurde, mais il faut préciser la simplification de $1026/4$ en $256.5$ pour plus de clarté et indiquer clairement que $n + 256.5$ ne peut être naturel.