1. **Calcul du PGCD (120, 126) avec l'algorithme d'Euclide** L'algorithme d'Euclide consiste à diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis à remplacer le plus grand par le plus petit et le plus petit par le reste, jusqu'à ce que le reste soit zéro. $$\text{PGCD}(a,b) = \text{PGCD}(b, a \bmod b)$$ Calcul : $$126 = 120 \times 1 + 6$$ $$120 = 6 \times 20 + 0$$ Le reste est 0, donc $$\text{PGCD}(120,126) = 6$$. 2. **Calcul du PPCM (120, 126)** La relation entre PGCD et PPCM est : $$\text{PPCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a,b)}$$ Donc : $$\text{PPCM}(120,126) = \frac{120 \times 126}{6} = 2520$$ 3. **Écriture en une seule puissance** - $$A = 3^6 \times 3^3 = 3^{6+3} = 3^9$$ - $$B = 5^4 \times 5^2 \times 5^4 = 5^{4+2+4} = 5^{10}$$ - $$C = \frac{10^6 \times 10^3}{10^3} = 10^{6+3-3} = 10^6$$ - $$D = 2 \times 3^3 \times 6^7$$ Pour D, on peut écrire $6^7 = (2 \times 3)^7 = 2^7 \times 3^7$, donc : $$D = 2 \times 3^3 \times 2^7 \times 3^7 = 2^{1+7} \times 3^{3+7} = 2^8 \times 3^{10}$$ 4. **Détermination du PPCM et PGCD de** $$a = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \times 7^1$$ $$b = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 11^1$$ - Le PGCD prend les puissances minimales communes : $$\text{PGCD}(a,b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(1,2)} \times 5^{\min(2,1)} = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$$ - Le PPCM prend les puissances maximales : $$\text{PPCM}(a,b) = 2^{\max(3,1)} \times 3^{\max(1,2)} \times 5^{\max(2,1)} \times 7^1 \times 11^1 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 \times 11 = 27720$$ 5. **Calculs** - $$A = 3^2 + 5 \times 2^3 = 9 + 5 \times 8 = 9 + 40 = 49$$ - $$B = 180 - 5^2 \times 5^4 + 3 = 180 - 25 \times 625 + 3 = 180 - 15625 + 3 = -15442$$ 6. **Compléter le tableau des notes cryptées** Conversion en base décimale : - Groupe 1 : $$1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$$ - Groupe 2 : $$230_4 = 2 \times 4^2 + 3 \times 4^1 + 0 \times 4^0 = 2 \times 16 + 3 \times 4 + 0 = 32 + 12 = 44$$ - Groupe 3 : $$105_6 = 1 \times 6^2 + 0 \times 6^1 + 5 \times 6^0 = 36 + 0 + 5 = 41$$ - Groupe 4 : $$110_8 = 1 \times 8^2 + 1 \times 8^1 + 0 \times 8^0 = 64 + 8 + 0 = 72$$ 7. **Division donnée** On a : $$\frac{304939}{302154} = \frac{151097}{2} = 2745$$ Cela signifie que la division de 304939 par 302154 est équivalente à la division de 151097 par 2, qui donne 2745. **Résumé des réponses :** - PGCD(120,126) = 6 - PPCM(120,126) = 2520 - Puissances simplifiées : - A = $3^9$ - B = $5^{10}$ - C = $10^6$ - D = $2^8 \times 3^{10}$ - PGCD(a,b) = 30 - PPCM(a,b) = 27720 - A = 49 - B = -15442 - Notes réelles : Groupe 1 = 13, Groupe 2 = 44, Groupe 3 = 41, Groupe 4 = 72 - Division : $\frac{304939}{302154} = \frac{151097}{2} = 2745$