1. Nous commençons par calculer le PGCD de 33075 et 7875. On utilise l'algorithme d'Euclide : $$33075 = 7875 \times 4 + 2550$$ $$7875 = 2550 \times 3 + 225$$ $$2550 = 225 \times 11 + 75$$ $$225 = 75 \times 3 + 0$$ Ainsi, $$\text{PGCD}(33075, 7875) = 75$$. 2. Pour $A = \sqrt{33075}$, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers de 33075. Décomposons 33075 : $$33075 \div 3 = 11025$$ $$11025 \div 3 = 3675$$ $$3675 \div 3 = 1225$$ $$1225 \div 5 = 245$$ $$245 \div 5 = 49$$ $$49 = 7^2$$ Donc : $$33075 = 3^3 \times 5^2 \times 7^2$$ Alors : $$A = \sqrt{33075} = \sqrt{3^3 \times 5^2 \times 7^2} = 5 \times 7 \times \sqrt{3^3} = 35 \times 3 \sqrt{3} = 105 \sqrt{3}$$ 3. Pour $B = \frac{33075}{7875}$ : Divisons les facteurs premiers : $$7875 = 3^2 \times 5^3 \times 7$$ (décomposition similaire) Alors : $$B = \frac{3^3 \times 5^2 \times 7^2}{3^2 \times 5^3 \times 7} = 3^{3-2} \times 5^{2-3} \times 7^{2-1} = 3^1 \times 5^{-1} \times 7^1 = \frac{3 \times 7}{5} = \frac{21}{5}$$ --- Exercice 14 : 1. Pour $A = 5^{n+2} - 5^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ : Factorisons : $$A = 5^n(5^2 - 1) = 5^n(25 - 1) = 5^n \times 24 = 5^n \times 2^3 \times 3$$ Ainsi, $A$ est divisible par $2$ et $3$, donc divisible par $6$. 2. Pour $B = 3^{n+3} + 3^n$ : Factorisons : $$B = 3^n(3^3 + 1) = 3^n(27 + 1) = 3^n \times 28 = 3^n \times 2^2 \times 7$$ Donc $B$ est divisible par $2$ et $7$, donc divisible par $14$. **Réponses finales :** - $$\text{PGCD}(33075,7875) = 75$$ - $$A = 105 \sqrt{3}$$ - $$B = \frac{21}{5}$$ - $$A = 5^{n+2} - 5^n = 5^n \times 24$$, divisible par 6 - $$B = 3^{n+3} + 3^n = 3^n \times 28$$, divisible par 14