1. **Énoncé du problème :** Montrer que $19^{2019} \equiv 3 \pmod{4}$ et $243^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$. 2. **Formules et règles importantes :** Pour calculer une congruence modulo 4, on peut réduire la base modulo 4 avant d'élever à la puissance. 3. **Calculs intermédiaires :** - $19 \equiv 3 \pmod{4}$ car $19 = 4 \times 4 + 3$. - Donc $19^{2019} \equiv 3^{2019} \pmod{4}$. - Comme $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$, les puissances paires de 3 sont congrues à 1 modulo 4, et les puissances impaires à 3. - $2019$ est impair, donc $3^{2019} \equiv 3 \pmod{4}$. - Pour $243$, on a $243 \equiv 3 \pmod{4}$ (car $243 = 4 \times 60 + 3$). - Donc $243^{2020} \equiv 3^{2020} \pmod{4}$. - $2020$ est pair, donc $3^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$. 4. **Conclusion :** - $19^{2019} \equiv 3 \pmod{4}$ - $243^{2020} \equiv 1 \pmod{4}$ --- 1. **Énoncé :** Soit $a = 3n - 5$ et $b = 2n - 2$ où $n$ est un entier non nul. Montrer que tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise 4. 2. **Rappel :** Le plus grand commun diviseur (pgcd) divise toute combinaison linéaire des deux nombres. 3. **Calculs :** - $a = 3n - 5$, $b = 2n - 2$. - Considérons $3b - 2a = 3(2n - 2) - 2(3n - 5) = 6n - 6 - 6n + 10 = 4$. - Donc tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise 4. --- 1. **Énoncé :** En déduire les valeurs possibles de $d = \gcd(a,b)$. 2. **Conclusion :** Puisque $d$ divise 4, $d$ peut être $1, 2$ ou $4$. --- 1. **Énoncé :** Montrer que $\gcd(a,b) = 4$ si et seulement si $n \equiv 3 \pmod{4}$. 2. **Méthode :** - Si $n \equiv 3 \pmod{4}$, alors $a = 3n - 5$ et $b = 2n - 2$ sont multiples de 4. - Vérification : - $n=4k+3$, alors $a = 3(4k+3) - 5 = 12k + 9 - 5 = 12k + 4$, multiple de 4. - $b = 2(4k+3) - 2 = 8k + 6 - 2 = 8k + 4$, multiple de 4. - Donc $4$ divise $a$ et $b$. - Comme $4$ est le plus grand diviseur commun possible, $\gcd(a,b) = 4$. --- 1. **Énoncé :** Montrer que $\gcd(a,b) = 2$ si et seulement si $n \equiv 1 \pmod{4}$. 2. **Méthode :** - Si $n = 4k + 1$, alors - $a = 3(4k+1) - 5 = 12k + 3 - 5 = 12k - 2$, divisible par 2 mais pas par 4. - $b = 2(4k+1) - 2 = 8k + 2 - 2 = 8k$, divisible par 2. - Donc $\gcd(a,b) = 2$. --- 1. **Énoncé :** En déduire les valeurs de $n$ pour que $\gcd(a,b) = 1$. 2. **Conclusion :** $\gcd(a,b) = 1$ si $n \equiv 0$ ou $2 \pmod{4}$. --- 1. **Énoncé :** Déterminer le $\gcd$ de $3 \cdot 19^{2019} - 95$ et $2 \cdot 19^{2019} - 62$. 2. **Calculs :** - Posons $x = 19^{2019}$. - Calculons $d = \gcd(3x - 95, 2x - 62)$. - Utilisons la propriété du pgcd : $d$ divise toute combinaison linéaire. - Calculons $3(2x - 62) - 2(3x - 95) = 6x - 186 - 6x + 190 = 4$. - Donc $d$ divise 4. - Vérifions si $d=4$ divise les deux nombres : - $3x - 95$ modulo 4 : - $19 \equiv 3 \pmod{4}$ donc $x = 19^{2019} \equiv 3^{2019} \equiv 3 \pmod{4}$. - $3x - 95 \equiv 3 \times 3 - 3 = 9 - 3 = 6 \equiv 2 \pmod{4}$ (car $95 \equiv 3 \pmod{4}$). - Donc $3x - 95$ n'est pas divisible par 4, donc $d \neq 4$. - Testons $d=2$ : - $3x - 95 \equiv 3 \times 3 - 1 = 9 - 1 = 8 \equiv 0 \pmod{2}$. - $2x - 62 \equiv 0 - 0 = 0 \pmod{2}$. - Donc $d=2$. 3. **Réponse finale :** Le $\gcd$ est 2.