1. Énonçons le problème : Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels ($x \in \mathbb{N}$ et $y \in \mathbb{N}$). Montrer que $x+y$ et $x-y$ ont la même parité. 2. Rappelons la définition de la parité : Un entier est pair s'il est divisible par 2, impair sinon. 3. Considérons deux cas : - Si $x$ et $y$ sont tous deux pairs, - Si $x$ et $y$ sont tous deux impairs, - Si l'un est pair et l'autre impair. 4. Écrivons $x$ et $y$ comme : - $x = 2a + r$ avec $a \in \mathbb{N}$ et $r \in \{0,1\}$ (reste de la division par 2), - $y = 2b + s$ avec $b \in \mathbb{N}$ et $s \in \{0,1\}$. 5. Calculons $x+y$ : $$x + y = (2a + r) + (2b + s) = 2(a + b) + (r + s)$$ 6. Calculons $x-y$ : $$x - y = (2a + r) - (2b + s) = 2(a - b) + (r - s)$$ 7. Puisque $r$ et $s$ sont soit 0 soit 1, les valeurs possibles de $(r+s)$ et $(r-s)$ modulo 2 sont : - $(r + s) \bmod 2$ peut être 0 ou 1, - $(r - s) \bmod 2$ peut être 0 ou 1 (interprétés modulo 2). 8. Observons que la parité de $x+y$ est donnée par $$(r + s) \bmod 2,$$ et la parité de $x-y$ par $$(r - s) \bmod 2.$$ 9. On peut vérifier que : $$ (r + s) \bmod 2 = (r - s) \bmod 2 $$ Car - Si $r = s$, alors $(r + s) \bmod 2 = (r - s) \bmod 2 = 0$, - Si $r \neq s$, alors $(r + s) \bmod 2 = 1$ et $(r - s) \bmod 2 = 1$ (car $1 \equiv -1 \pmod 2$). 10. Conclusion : Donc $x+y$ et $x-y$ ont la même parité.