1. Énonçons le problème : Trouver toutes les paires de nombres à deux chiffres $AB$ et $BA$ (avec $A$ et $B$ chiffres différents non nuls) qui ont au moins un diviseur commun supérieur à 1. 2. Représentons les nombres : $$AB = 10A + B$$ $$BA = 10B + A$$ avec $A, B \in \{1,2,\ldots,9\}$ et $A \neq B$. 3. Nous cherchons les paires $(A,B)$ telles que $\gcd(10A + B, 10B + A) > 1$. 4. Calculons le $\gcd$ : $$d = \gcd(10A + B, 10B + A)$$ Utilisons la propriété du $\gcd$ : $$d = \gcd(10A + B, 10B + A) = \gcd(10A + B - (10B + A), 10B + A) = \gcd(9A - 9B, 10B + A)$$ 5. Simplifions : $$\gcd(9(A - B), 10B + A)$$ Puisque $9 = 3^2$, tout diviseur commun doit diviser $9(A-B)$. 6. Pour que $d > 1$, $d$ doit diviser à la fois $9(A-B)$ et $10B + A$. 7. Testons les diviseurs possibles de $9(A-B)$ : - $3$ est un candidat évident. 8. Vérifions si $3$ divise $10B + A$ : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ici, $10B + A$ a pour chiffres $B$ et $A$, donc la somme est $A + B$. 9. Donc, $3$ divise $10B + A$ si et seulement si $3$ divise $A + B$. 10. De même, $3$ divise $9(A-B)$ toujours, car $9$ est multiple de $3$. 11. Conclusion : Le $\gcd$ est au moins 3 si $3$ divise $A + B$. 12. Trouvons toutes les paires $(A,B)$ avec $A \neq B$, $A,B \in \{1,...,9\}$, et $3 | (A+B)$. 13. Comptons ces paires : - Pour chaque $A$, on cherche $B \neq A$ tel que $A + B$ est multiple de 3. 14. Les sommes multiples de 3 entre 2 et 18 sont : 3,6,9,12,15,18. 15. Pour $A=1$ : $B$ tel que $1+B$ multiple de 3 \Rightarrow $B=2,5,8$ (car $1+2=3$, $1+5=6$, $1+8=9$). 16. Pour $A=2$ : $B=1,4,7$. 17. Pour $A=3$ : $B=3$ exclu (même chiffre), donc $B=6,9$. 18. Pour $A=4$ : $B=2,5,8$. 19. Pour $A=5$ : $B=1,4,7$. 20. Pour $A=6$ : $B=3,6$ exclu, donc $B=9$. 21. Pour $A=7$ : $B=2,5,8$. 22. Pour $A=8$ : $B=1,4,7$. 23. Pour $A=9$ : $B=3,6,9$ exclu, donc $B=3,6$. 24. Comptons toutes ces paires : - $A=1$: 3 - $A=2$: 3 - $A=3$: 2 - $A=4$: 3 - $A=5$: 3 - $A=6$: 1 - $A=7$: 3 - $A=8$: 3 - $A=9$: 2 Total = 3+3+2+3+3+1+3+3+2 = 23 paires. 25. Chaque paire $(A,B)$ correspond à une paire de nombres $(AB, BA)$ avec $A \neq B$. 26. Donc, Max a noté 23 paires de nombres. **Réponse finale :** 23 paires