1. **Énoncé du problème :** Trouver des couples de nombres premiers jumeaux, justifier leur nature impaire, analyser la forme de ces nombres, et déterminer tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 100. 2. **Définition :** Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence est égale à 2. 3. **Formule importante :** Pour un entier naturel $p > 6$, on a $p = 6q + 1$ ou $p = 6q + 5$ avec $q$ entier naturel non nul. --- **Étape 1 : Proposer 4 couples différents de nombres premiers jumeaux.** - Exemples classiques : $(3,5), (5,7), (11,13), (17,19)$. --- **Étape 2 : Justifier que des nombres premiers jumeaux sont obligatoirement impairs.** - Le seul nombre premier pair est 2. - Si un nombre premier jumeau était pair, il serait 2. - Or, la différence entre deux nombres premiers jumeaux est 2. - Le seul couple avec 2 est $(3,5)$, où 3 est impair. - Donc, sauf ce cas, tous les nombres premiers jumeaux sont impairs. --- **Étape 3a : Justifier que si $p$ et $p-2$ sont premiers jumeaux avec $p>6$, alors $p$ est de la forme $6q+1$.** - D'après l'exercice, $p=6q+1$ ou $p=6q+5$. - Si $p=6q+5$, alors $p-2=6q+3$. - Or, $6q+3$ est divisible par 3, donc pas premier sauf si $6q+3=3$ ce qui est impossible pour $q>0$. - Donc $p$ ne peut pas être $6q+5$. - Ainsi, $p=6q+1$. --- **Étape 3b : Les entiers de la forme $p=6k+1$ et $p-2$ sont-ils tous des nombres premiers jumeaux ?** - Non, car même si $p=6k+1$ est premier, $p-2$ n'est pas toujours premier. - Exemple : $p=25=6*4+1$ n'est pas premier, donc pas jumeau. - Donc la forme ne garantit pas que $p$ et $p-2$ soient tous deux premiers. --- **Étape 4 : Déterminer tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 100.** - Liste des nombres premiers jumeaux inférieurs à 100 : $(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73)$. --- **Réponse finale :** - 4 couples de nombres premiers jumeaux : $(3,5), (5,7), (11,13), (17,19)$. - Les nombres premiers jumeaux sont impairs sauf le couple $(3,5)$. - Pour $p>6$, $p$ est de la forme $6q+1$. - Tous les nombres de la forme $6k+1$ ne forment pas forcément des nombres premiers jumeaux. - Tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 100 sont listés ci-dessus.