1. **Étudier si les nombres suivants sont premiers : 67 ; 163 ; 341 ; 1540 ; 1559** - 67 : C'est un nombre premier car il n'a pas de diviseurs autres que 1 et lui-même. - 163 : C'est un nombre premier pour la même raison. - 341 : Vérifions la divisibilité par 11 (car 341 = 11 × 31), donc 341 n'est pas premier. - 1540 : Divisible par 2 (car pair), donc pas premier. - 1559 : Testons les diviseurs premiers jusqu'à \(\sqrt{1559} \approx 39.5\). 1559 est divisible par 13 (car 13 × 120 = 1560, donc 13 × 119.9 ≈ 1559), en fait 1559 = 13 × 120 - 1, donc pas divisible par 13. Testons 17 : 17 × 91 = 1547, 17 × 92 = 1564, non divisible. Testons 19 : 19 × 82 = 1558, 19 × 83 = 1577, non divisible. Testons 23 : 23 × 67 = 1541, 23 × 68 = 1564, non divisible. Testons 29 : 29 × 53 = 1537, 29 × 54 = 1566, non divisible. Testons 31 : 31 × 50 = 1550, 31 × 51 = 1581, non divisible. Testons 37 : 37 × 42 = 1554, 37 × 43 = 1591, non divisible. Donc 1559 est premier. 2. **Décomposer en produit de facteurs premiers : 6250 ; 5259 ; 1650 ; 675** - 6250 : \(6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times 2 \times 5 = 2 \times 5^5\) - 5259 : Testons divisibilité par 3 : somme des chiffres = 5+2+5+9=21, divisible par 3. \(5259 \div 3 = 1753\) 1753 est-il premier ? Test divisibilité par 7 : 7 × 250 = 1750, reste 3, non divisible. Test divisibilité par 13 : 13 × 135 = 1755, non divisible. Test divisibilité par 17 : 17 × 103 = 1751, non divisible. Test divisibilité par 19 : 19 × 92 = 1748, non divisible. Test divisibilité par 23 : 23 × 76 = 1748, non divisible. Test divisibilité par 29 : 29 × 60 = 1740, non divisible. Test divisibilité par 31 : 31 × 56 = 1736, non divisible. Test divisibilité par 37 : 37 × 47 = 1739, non divisible. Test divisibilité par 41 : 41 × 42 = 1722, non divisible. Test divisibilité par 43 : 43 × 40 = 1720, non divisible. Test divisibilité par 47 : 47 × 37 = 1739, non divisible. Test divisibilité par 53 : 53 × 33 = 1749, non divisible. Test divisibilité par 59 : 59 × 29 = 1711, non divisible. Test divisibilité par 61 : 61 × 28 = 1708, non divisible. Test divisibilité par 67 : 67 × 26 = 1742, non divisible. Test divisibilité par 71 : 71 × 24 = 1704, non divisible. Test divisibilité par 73 : 73 × 24 = 1752, non divisible. Test divisibilité par 79 : 79 × 22 = 1738, non divisible. Test divisibilité par 83 : 83 × 21 = 1743, non divisible. Test divisibilité par 89 : 89 × 19 = 1691, non divisible. Test divisibilité par 97 : 97 × 18 = 1746, non divisible. Donc 1753 est premier. Donc \(5259 = 3 \times 1753\) - 1650 : \(1650 = 165 \times 10 = (3 \times 5 \times 11) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^2 \times 11\) - 675 : \(675 = 27 \times 25 = 3^3 \times 5^2\) **Réponse finale :** - 67, 163, 1559 sont premiers. - 341, 1540 ne sont pas premiers. - \(6250 = 2 \times 5^5\) - \(5259 = 3 \times 1753\) avec 1753 premier. - \(1650 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 11\) - \(675 = 3^3 \times 5^2\)