1. Énumérons tous les nombres premiers compris entre 40 et 60, puis entre 80 et 100. - Les nombres premiers sont des entiers naturels supérieurs à 1 qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. - a. Entre 40 et 60 : 41, 43, 47, 53, 59. - b. Entre 80 et 100 : 83, 89, 97. 2. Pourquoi ces nombres ne sont pas premiers ? - a. 235 : divisible par 5 (car il finit par 5), donc pas premier. - b. 236 : divisible par 2 (nombre pair), donc pas premier. - c. 237 : divisible par 3 (2+3+7=12, multiple de 3), donc pas premier. - d. 243 : divisible par 3 (2+4+3=9, multiple de 3), donc pas premier. 3. Décomposons chaque nombre en produit de deux facteurs premiers. - a. 65 = 5 × 13 - b. 69 = 3 × 23 - c. 77 = 7 × 11 - d. 94 = 2 × 47 4. Décomposons chaque nombre en produit de trois facteurs premiers. - a. 105 = 3 × 5 × 7 - b. 374 = 2 × 11 × 17 - c. 434 = 2 × 7 × 31 5. Décomposons chaque expression en produit de facteurs premiers. - a. 3 871 = 49 × 79 = (7²) × 79 - b. 6 050 = 121 × 5 × 10 = (11²) × 5 × (2 × 5) = 2 × 5² × 11² - c. 3² × 17 × 51 = 3² × 17 × (3 × 17) = 3³ × 17² - d. 82 × 26² = (2 × 41) × (2 × 13)² = 2 × 41 × 2² × 13² = 2³ × 13² × 41 6. Décomposons chaque nombre en produit de facteurs premiers. - a. 152 = 2³ × 19 - b. 525 = 3 × 5² × 7 - c. 676 = 2² × 13² 7. Le trésor du capitaine : - a. Décompositions en facteurs premiers : - 69 = 3 × 23 - 1 150 = 2 × 5² × 23 - 4 140 = 2² × 3 × 5 × 23 - b. Pour partager équitablement, on cherche le plus grand commun diviseur (PGCD) des trois nombres. - PGCD(69, 1150, 4140) = 23 - Donc, il y a 23 marins. 8. - a. Diviseurs premiers de 588 = 2, 3, 7 (car 588 = 2² × 3 × 7²). - b. Décomposition de 27 000 000 : - 27 000 000 = 27 × 1 000 000 = (3³) × (10^6) = 3³ × (2^6 × 5^6) = 2^6 × 3^3 × 5^6 - Diviseurs premiers : 2, 3, 5 - c. Plus petit nombre entier positif impair avec trois diviseurs premiers différents : - Un nombre impair ne contient pas le facteur 2. - Choisissons les trois plus petits nombres premiers impairs : 3, 5, 7. - Leur produit est 3 × 5 × 7 = 105. - Donc, 105 est le plus petit nombre impair avec trois diviseurs premiers différents. Cette méthode permet de comprendre la décomposition en facteurs premiers et l’identification des nombres premiers.