1. Énoncé du problème : Nous étudions la définition des nombres parfaits en analysant la somme de leurs diviseurs positifs. 1-a) Liste des diviseurs positifs de 28 : Les diviseurs sont 1, 2, 4, 7, 14, 28. Calculons la somme $S_{28}$ : $$S_{28} = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56$$ Comme $S_{28} = 2 \times 28$, 28 est un nombre parfait. 1-b) Vérifions si 525 est parfait : Trouvons les diviseurs positifs (quelques-uns) : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525. Calculons la somme : $$S_{525} = 1 + 3 + 5 + 7 + 15 + 21 + 25 + 35 + 75 + 105 + 175 + 525 = 991$$ Or, $2 \times 525 = 1050 \neq 991$, donc 525 n'est pas parfait. 2-a) Soit $p$ un nombre premier, les diviseurs positifs sont 1 et $p$. Donc : $$S_p = 1 + p = p + 1$$ 2-b) i. Puisque $S_p = p + 1$ et $2p > p+1$ pour $p > 1$, un nombre premier $p$ n'est pas parfait. ii. Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (donc pas forcément premiers mais gcd$(a,b)=1$), alors $S_{ab} = S_a \times S_b$ car la somme est multiplicative pour des nombres premiers entre eux. iii. Calculons $S_{205}$ avec la décomposition en facteurs premiers : $$205 = 5 \times 41$$ Puisque 5 et 41 sont premiers entre eux, $$S_{205} = S_5 \times S_{41} = (1+5)(1+41) = 6 \times 42 = 252$$ 3. Soit $p$ premier et $k$ entier naturel non nul. Les diviseurs de $p^{k}$ sont $1, p, p^2, \ldots, p^{k}$. La somme est une série géométrique : $$S_{p^{k}} = 1 + p + p^2 + \cdots + p^{k} = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1}$$ (On utilise la formule donnée pour la somme des puissances). 4-a) Décomposons 1053 en facteurs premiers : $$1053 ÷ 3 = 351$$ $$351 ÷ 3 = 117$$ $$117 ÷ 3 = 39$$ $$39 ÷ 3 = 13$$ $$13 \text{ est premier}$$ Donc : $$1053 = 3^4 \times 13$$ 4-b) En appliquant la multiplicativité et la formule de la série géométrique : $$S_{1053} = S_{3^4} \times S_{13} = \left(\frac{3^{5} - 1}{3 - 1}\right) \times (1 + 13) = \left(\frac{243 - 1}{2}\right) \times 14 = \frac{242}{2} \times 14 = 121 \times 14 = 1694$$ Comparons à $2 \times 1053 = 2106$ : $S_{1053} \neq 2 \times 1053$, donc 1053 n'est pas parfait. Réponses résumées : - 28 est parfait. - 525 n'est pas parfait. - Si $p$ est premier, $S_p = p+1$ donc $p$ n'est pas parfait. - Pour $a,b$ premiers entre eux, $S_{ab} = S_a \times S_b$. - $S_{205} = 252$. - $S_{p^k} = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1}$. - $1053 = 3^4 \times 13$, $S_{1053} = 1694$, 1053 n'est pas parfait.