1. Énonçons le problème : Montrer que pour un nombre premier $p \geq 3$, le nombre $p^{2023} + 2023$ n'est pas premier. 2. Considérons le nombre $N = p^{2023} + 2023$ où $p$ est un nombre premier avec $p \geq 3$. 3. Remarquons que tous les nombres premiers plus grands ou égaux à 3 sont impairs. 4. Étudions $N$ modulo $p$ : $$N \equiv p^{2023} + 2023 \equiv 0 + 2023 \equiv 2023 \pmod{p}$$ 5. Sachant que $p$ est premier et $p \geq 3$, regardons si $p$ divise le nombre 2023. 6. Factorisons 2023 : - Divisons 2023 par 7 : $2023 \div 7 = 289$ - Or $289 = 17^2$ - Donc $2023 = 7 \times 17^2$ 7. Ainsi, les diviseurs premiers de 2023 sont 7 et 17. 8. Si $p=7$ ou $p=17$, alors $p$ divise $N$ donc $N$ n'est pas premier car $N > p$. 9. Pour $p \neq 7$ et $p \neq 17$, alors $p$ ne divise pas 2023 donc $N \not\equiv 0 \pmod{p}$. 10. Cependant, par le théorème de Fermat-Littlewood (simplifié ici), montrons que $N$ est divisible par $p-1$ divisée en facteurs, ce qui est complexe, mais on peut utiliser le fait que $p^{2023} \equiv p^{odd} \equiv p \pmod 2$. 11. Plus simple, regardons $N$ modulo 2 : - Puisque $p$ est impair, $p^{2023}$ est impair. - $2023$ est impair. - Donc $N = impair + impair = pair$. 12. Or, $N$ pair et strictement supérieur à 2 est forcément non premier. 13. Donc $N$ est un nombre pair strictement supérieur à 2, donc $N$ n'est pas premier. 14. Conclusion : Pour tout nombre premier $p \geq 3$, $p^{2023} + 2023$ est pair et supérieur à 2, donc pas premier.