1. Énoncé du problème : On considère un nombre premier $p \geq 6$ et on sait que $p$ peut s'écrire sous la forme $p = 6q + 1$ ou $p = 6q + 5$ avec $q$ un entier naturel non nul. 2. Cas $p = 6q + 1$ : a. Calcul de $p^2$ : $$p^2 = (6q + 1)^2 = 36q^2 + 12q + 1 = 12q(3q + 1) + 1$$ b. Parité de $q(3q + 1)$ : - $q$ est un entier naturel. - $3q + 1$ est impair si $q$ est pair, et pair si $q$ est impair. - Produit $q(3q + 1)$ est donc toujours pair car l'un des facteurs est pair. c. Existence de $k$ tel que : Puisque $q(3q + 1)$ est pair, il existe un entier naturel $k$ tel que $q(3q + 1) = 2k$. Donc : $$p^2 = 12 \times 2k + 1 = 24k + 1$$ 3. Cas $p = 6q + 5$ : Calcul de $p^2$ : $$p^2 = (6q + 5)^2 = 36q^2 + 60q + 25 = 12q(3q + 5) + 25$$ Or, $25 = 24 + 1$, donc : $$p^2 = 12q(3q + 5) + 24 + 1 = 24k + 1$$ où $k = \frac{12q(3q + 5) + 24}{24} = \frac{12q(3q + 5)}{24} + 1 = \frac{q(3q + 5)}{2} + 1$. Comme $q(3q + 5)$ est pair (même raisonnement que précédemment), $k$ est un entier naturel. Conclusion : Pour un nombre premier $p \geq 6$, il existe un entier naturel $k$ tel que $$p^2 = 24k + 1$$