1. **Énoncé du problème :** Factoriser les nombres $A=4620$ et $B=6174$ en facteurs premiers, calculer le PPCM et le PGCD de $A$ et $B$, puis déterminer les nombres $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{x}{\mathrm{PPCM}(A,B)} + \frac{y}{\mathrm{PPCM}(A,B)}.$$ 2. **Factorisation en nombres premiers :** - Pour $A=4620$ : $4620 = 2 \times 2310 = 2^2 \times 1155 = 2^2 \times 3 \times 385 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 77 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11.$ - Pour $B=6174$ : $6174 = 2 \times 3087 = 2 \times 3 \times 1029 = 2 \times 3^2 \times 343 = 2 \times 3^2 \times 7^3.$ 3. **Calcul du PGCD :** Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec leurs plus petites puissances : $$\mathrm{PGCD}(A,B) = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 42.$$ 4. **Calcul du PPCM :** Le PPCM est le produit des facteurs premiers avec leurs plus grandes puissances : $$\mathrm{PPCM}(A,B) = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7^3 \times 11 = 277830.$$ 5. **Détermination de $a$ et $b$ :** On cherche $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{x}{\mathrm{PPCM}(A,B)} + \frac{y}{\mathrm{PPCM}(A,B)} = \frac{x+y}{\mathrm{PPCM}(A,B)}.$$ Cela implique que $a$ et $b$ sont des diviseurs de $\,\mathrm{PPCM}(A,B)$ et que la somme de leurs inverses s'exprime en fonction de $x$ et $y$. **Résumé :** - $A = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$ - $B = 2 \times 3^2 \times 7^3$ - $\mathrm{PGCD}(A,B) = 42$ - $\mathrm{PPCM}(A,B) = 277830$ - $a$ et $b$ sont tels que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{x+y}{277830}$