1. **Énoncé du problème :** n est un entier supérieur à 3. On pose $E = n^3 - n$. 2. **a) Factoriser $E$ et déduire que 6 divise $E$ :** - $E = n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$. - Puisque $n$, $n-1$, et $n+1$ sont trois entiers consécutifs, parmi eux il y a au moins un multiple de 2 et un multiple de 3. - Donc, $6 = 2 \times 3$ divise $E$. 3. **b) Calculer $\gcd(n^3 - n + 14, 6)$ :** - On sait que $6$ divise $n^3 - n$, donc $n^3 - n \equiv 0 \pmod 6$. - Ainsi, $n^3 - n + 14 \equiv 14 \equiv 2 \pmod 6$ (car $14 \mod 6 = 2$). - Donc, $\gcd(n^3 - n + 14, 6) = \gcd(2, 6) = 2$. 4. **c) Calculer le $\mathrm{ppcm}(E, n+1)$ :** - Comme $E = n(n-1)(n+1)$, on voit que $n+1$ divise $E$. - Donc, $\mathrm{ppcm}(E, n+1) = E$. 5. **d) Montrer que si $n$ est impair, 8 et $n^2$ sont premiers entre eux :** - $n$ impair implique $n^2$ impair. - Or 8 est une puissance de 2, donc toute puissance de 2 ne divise pas un nombre impair. - Donc, $\gcd(8, n^2) = 1$, ils sont premiers entre eux. 6. **e) Montrer que 8 divise $E$ :** - On peut écrire $E = n(n-1)(n+1)$, produit de trois entiers consécutifs. - Parmi trois entiers consécutifs, il y a exactement un multiple de 2 mais ici $n$ est impair donc $n-1$ et $n+1$ sont pairs. - Parmi $n-1$ et $n+1$, l'un est multiple de 4 (car parmi deux nombres pairs consécutifs, l'un est multiple de 4). - Donc, $E$ contient au moins $2 \times 4 = 8$ comme facteur. - Ainsi, 8 divise $E$. **Réponses finales :** - a) $E = n(n-1)(n+1)$, et 6 divise $E$. - b) $\gcd(n^3 - n + 14, 6) = 2$. - c) $\mathrm{ppcm}(E, n+1) = E$. - d) Si $n$ impair, $\gcd(8, n^2) = 1$. - e) 8 divise $E$.