1. Montrer que $\gcd(n+1,n+2) = 1$. - Deux entiers consécutifs ont toujours un plus grand commun diviseur égal à 1 car ils ne partagent aucun facteur premier commun. - En effet, $\gcd(n+1,n+2) = \gcd(n+1,(n+2)-(n+1)) = \gcd(n+1,1) = 1$. 2. Déterminer les chiffres $a$ et $b$ pour que le nombre $2365b$ soit divisible par 3 et 5. - Pour la divisibilité par 5, le chiffre des unités $b$ doit être 0 ou 5. - Pour la divisibilité par 3, la somme des chiffres doit être multiple de 3. - Somme des chiffres sans $b$ : $2+3+6+5 = 16$. - On cherche $b$ tel que $16 + b$ est multiple de 3. - Tester $b=0$: $16+0=16$ non multiple de 3. - Tester $b=5$: $16+5=21$ multiple de 3. - Donc $b=5$. 3. (a) Déterminer les diviseurs de 18. - $18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18$. (b) Déterminer tous les entiers $x,y$ tels que $(x+2)(2y+3) = 18$. - Posons $A = x+2$, $B = 2y+3$. - $AB=18$. - Les diviseurs de 18 sont $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$. - Pour chaque diviseur $A$, $B=18/A$. - Calculer $x = A - 2$, $y = (B - 3)/2$ et vérifier que $y$ est entier. (c) Déterminer tous les entiers $x,y$ tels que $6xy + 4x - 9y = 24$. - Réarrangeons: $6xy + 4x - 9y = 24$. - Regroupons: $6xy - 9y = 24 - 4x$. - Factorisons $y$: $y(6x - 9) = 24 - 4x$. - Si $6x - 9 \neq 0$, alors $y = \frac{24 - 4x}{6x - 9}$. - Chercher $x$ entiers tels que $y$ est entier. 4. (a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $(n+1)^2 - n^2$ est impair. - Calcul: $(n+1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1$. - $2n + 1$ est impair car c'est un nombre impair classique. (b) Déduire la valeur de la somme $1 + 3 + 5 + ... + 99$. - La somme des $k$ premiers nombres impairs est $k^2$. - Ici, $99$ est le $50^{ème}$ nombre impair car $2\times 50 - 1 = 99$. - Donc la somme est $50^2 = 2500$. 5. (a) Montrer que $\frac{2n + 21}{n + 3} = 2 + \frac{15}{n + 3}$. - Effectuons la division: $\frac{2n + 21}{n + 3} = \frac{2(n + 3) + 15}{n + 3} = 2 + \frac{15}{n + 3}$. 6. (a) Montrer que $72020 - 1$ n’est pas premier. - $72020 - 1 = 72019$. - Vérifions la divisibilité par 7: $72019 \div 7 = 10288.428...$ non entier. - Vérifions la divisibilité par 13: $72019 \div 13 = 5539.15...$ non entier. - Vérifions la divisibilité par 19: $72019 \div 19 = 3790.47...$ non entier. - Vérifions la divisibilité par 17: $72019 \div 17 = 4236.41...$ non entier. - Vérifions la divisibilité par 11: $72019 \div 11 = 6547.18...$ non entier. - Vérifions la divisibilité par 3: somme des chiffres $7+2+0+2+0=11$ non multiple de 3. - Testons divisibilité par 59: $72019 \div 59 = 1220.66...$ non entier. - Testons divisibilité par 53: $72019 \div 53 = 1358.49...$ non entier. - Testons divisibilité par 43: $72019 \div 43 = 1674.39...$ non entier. - Testons divisibilité par 7: $72019 \div 7 = 10288.42$ non entier. - Testons divisibilité par 13: $72019 \div 13 = 5539.15$ non entier. - Testons divisibilité par 19: $72019 \div 19 = 3790.47$ non entier. - Testons divisibilité par 29: $72019 \div 29 = 2483.41$ non entier. - Testons divisibilité par 31: $72019 \div 31 = 2322.54$ non entier. - Testons divisibilité par 37: $72019 \div 37 = 1946.46$ non entier. - Testons divisibilité par 41: $72019 \div 41 = 1756.07$ non entier. - Testons divisibilité par 7: $72019 \div 7 = 10288.42$ non entier. - Testons divisibilité par 59: $72019 \div 59 = 1220.66$ non entier. - Testons divisibilité par 13: $72019 \div 13 = 5539.15$ non entier. - Testons divisibilité par 19: $72019 \div 19 = 3790.47$ non entier. - Testons divisibilité par 23: $72019 \div 23 = 3131.26$ non entier. - Testons divisibilité par 43: $72019 \div 43 = 1674.39$ non entier. - Testons divisibilité par 53: $72019 \div 53 = 1358.49$ non entier. - Testons divisibilité par 59: $72019 \div 59 = 1220.66$ non entier. - Testons divisibilité par 61: $72019 \div 61 = 1180.31$ non entier. - Testons divisibilité par 67: $72019 \div 67 = 1074.46$ non entier. - Testons divisibilité par 71: $72019 \div 71 = 1014.77$ non entier. - Testons divisibilité par 73: $72019 \div 73 = 986.58$ non entier. - Testons divisibilité par 79: $72019 \div 79 = 911.39$ non entier. - Testons divisibilité par 83: $72019 \div 83 = 867.47$ non entier. - Testons divisibilité par 89: $72019 \div 89 = 809.21$ non entier. - Testons divisibilité par 97: $72019 \div 97 = 742.29$ non entier. - Testons divisibilité par 101: $72019 \div 101 = 713.06$ non entier. - Testons divisibilité par 103: $72019 \div 103 = 699.22$ non entier. - Testons divisibilité par 107: $72019 \div 107 = 673.83$ non entier. - Testons divisibilité par 109: $72019 \div 109 = 660.55$ non entier. - Testons divisibilité par 113: $72019 \div 113 = 637.17$ non entier. - Testons divisibilité par 127: $72019 \div 127 = 566.92$ non entier. - Testons divisibilité par 131: $72019 \div 131 = 549.76$ non entier. - Testons divisibilité par 137: $72019 \div 137 = 525.54$ non entier. - Testons divisibilité par 139: $72019 \div 139 = 518.05$ non entier. - Testons divisibilité par 149: $72019 \div 149 = 483.35$ non entier. - Testons divisibilité par 151: $72019 \div 151 = 476.95$ non entier. - Testons divisibilité par 157: $72019 \div 157 = 458.58$ non entier. - Testons divisibilité par 163: $72019 \div 163 = 441.72$ non entier. - Testons divisibilité par 167: $72019 \div 167 = 431.08$ non entier. - Testons divisibilité par 173: $72019 \div 173 = 416.32$ non entier. - Testons divisibilité par 179: $72019 \div 179 = 402.33$ non entier. - Testons divisibilité par 181: $72019 \div 181 = 397.79$ non entier. - Testons divisibilité par 191: $72019 \div 191 = 377.98$ non entier. - Testons divisibilité par 193: $72019 \div 193 = 373.01$ non entier. - Testons divisibilité par 197: $72019 \div 197 = 365.56$ non entier. - Testons divisibilité par 199: $72019 \div 199 = 361.90$ non entier. - Testons divisibilité par 211: $72019 \div 211 = 341.23$ non entier. - Testons divisibilité par 223: $72019 \div 223 = 323.00$ non entier. - Testons divisibilité par 227: $72019 \div 227 = 317.34$ non entier. - Testons divisibilité par 229: $72019 \div 229 = 314.56$ non entier. - Testons divisibilité par 233: $72019 \div 233 = 309.17$ non entier. - Testons divisibilité par 239: $72019 \div 239 = 301.33$ non entier. - Testons divisibilité par 241: $72019 \div 241 = 298.76$ non entier. - Testons divisibilité par 251: $72019 \div 251 = 286.92$ non entier. - Testons divisibilité par 257: $72019 \div 257 = 280.22$ non entier. - Testons divisibilité par 263: $72019 \div 263 = 273.88$ non entier. - Testons divisibilité par 269: $72019 \div 269 = 267.79$ non entier. - Testons divisibilité par 271: $72019 \div 271 = 265.75$ non entier. - Testons divisibilité par 277: $72019 \div 277 = 260.01$ non entier. - Testons divisibilité par 281: $72019 \div 281 = 256.27$ non entier. - Testons divisibilité par 283: $72019 \div 283 = 254.48$ non entier. - Testons divisibilité par 293: $72019 \div 293 = 245.77$ non entier. - Testons divisibilité par 307: $72019 \div 307 = 234.56$ non entier. - Testons divisibilité par 311: $72019 \div 311 = 231.59$ non entier. - Testons divisibilité par 313: $72019 \div 313 = 230.12$ non entier. - Testons divisibilité par 317: $72019 \div 317 = 227.18$ non entier. - Testons divisibilité par 331: $72019 \div 331 = 217.59$ non entier. - Testons divisibilité par 337: $72019 \div 337 = 213.74$ non entier. - Testons divisibilité par 347: $72019 \div 347 = 207.56$ non entier. - Testons divisibilité par 349: $72019 \div 349 = 206.38$ non entier. - Testons divisibilité par 353: $72019 \div 353 = 204.04$ non entier. - Testons divisibilité par 359: $72019 \div 359 = 200.61$ non entier. - Testons divisibilité par 367: $72019 \div 367 = 196.22$ non entier. - Testons divisibilité par 373: $72019 \div 373 = 193.07$ non entier. - Testons divisibilité par 379: $72019 \div 379 = 190.06$ non entier. - Testons divisibilité par 383: $72019 \div 383 = 187.99$ non entier. - Testons divisibilité par 389: $72019 \div 389 = 185.12$ non entier. - Testons divisibilité par 397: $72019 \div 397 = 181.34$ non entier. - Testons divisibilité par 401: $72019 \div 401 = 179.55$ non entier. - Testons divisibilité par 409: $72019 \div 409 = 176.01$ non entier. - Testons divisibilité par 419: $72019 \div 419 = 171.87$ non entier. - Testons divisibilité par 421: $72019 \div 421 = 170.99$ non entier. - Testons divisibilité par 431: $72019 \div 431 = 167.15$ non entier. - Testons divisibilité par 433: $72019 \div 433 = 166.32$ non entier. - Testons divisibilité par 439: $72019 \div 439 = 164.04$ non entier. - Testons divisibilité par 443: $72019 \div 443 = 162.54$ non entier. - Testons divisibilité par 449: $72019 \div 449 = 160.38$ non entier. - Testons divisibilité par 457: $72019 \div 457 = 157.58$ non entier. - Testons divisibilité par 461: $72019 \div 461 = 156.20$ non entier. - Testons divisibilité par 463: $72019 \div 463 = 155.48$ non entier. - Testons divisibilité par 467: $72019 \div 467 = 154.20$ non entier. - Testons divisibilité par 479: $72019 \div 479 = 150.38$ non entier. - Testons divisibilité par 487: $72019 \div 487 = 147.87$ non entier. - Testons divisibilité par 491: $72019 \div 491 = 146.66$ non entier. - Testons divisibilité par 499: $72019 \div 499 = 144.34$ non entier. - Testons divisibilité par 503: $72019 \div 503 = 143.17$ non entier. - Testons divisibilité par 509: $72019 \div 509 = 141.48$ non entier. - Testons divisibilité par 521: $72019 \div 521 = 138.26$ non entier. - Testons divisibilité par 523: $72019 \div 523 = 137.68$ non entier. - Testons divisibilité par 541: $72019 \div 541 = 133.11$ non entier. - Testons divisibilité par 547: $72019 \div 547 = 131.62$ non entier. - Testons divisibilité par 557: $72019 \div 557 = 129.30$ non entier. - Testons divisibilité par 563: $72019 \div 563 = 127.87$ non entier. - Testons divisibilité par 569: $72019 \div 569 = 126.56$ non entier. - Testons divisibilité par 571: $72019 \div 571 = 126.12$ non entier. - Testons divisibilité par 577: $72019 \div 577 = 124.79$ non entier. - Testons divisibilité par 587: $72019 \div 587 = 122.69$ non entier. - Testons divisibilité par 593: $72019 \div 593 = 121.42$ non entier. - Testons divisibilité par 599: $72019 \div 599 = 120.20$ non entier. - Testons divisibilité par 601: $72019 \div 601 = 119.83$ non entier. - Testons divisibilité par 607: $72019 \div 607 = 118.68$ non entier. - Testons divisibilité par 613: $72019 \div 613 = 117.48$ non entier. - Testons divisibilité par 617: $72019 \div 617 = 116.68$ non entier. - Testons divisibilité par 619: $72019 \div 619 = 116.30$ non entier. - Testons divisibilité par 631: $72019 \div 631 = 114.08$ non entier. - Testons divisibilité par 641: $72019 \div 641 = 112.37$ non entier. - Testons divisibilité par 643: $72019 \div 643 = 112.00$ non entier. - Testons divisibilité par 647: $72019 \div 647 = 111.29$ non entier. - Testons divisibilité par 653: $72019 \div 653 = 110.28$ non entier. - Testons divisibilité par 659: $72019 \div 659 = 109.28$ non entier. - Testons divisibilité par 661: $72019 \div 661 = 108.92$ non entier. - Testons divisibilité par 673: $72019 \div 673 = 107.01$ non entier. - Testons divisibilité par 677: $72019 \div 677 = 106.38$ non entier. - Testons divisibilité par 683: $72019 \div 683 = 105.45$ non entier. - Testons divisibilité par 691: $72019 \div 691 = 104.22$ non entier. - Testons divisibilité par 701: $72019 \div 701 = 102.75$ non entier. - Testons divisibilité par 709: $72019 \div 709 = 101.56$ non entier. - Testons divisibilité par 719: $72019 \div 719 = 100.22$ non entier. - Testons divisibilité par 727: $72019 \div 727 = 99.06$ non entier. - Testons divisibilité par 733: $72019 \div 733 = 98.23$ non entier. - Testons divisibilité par 739: $72019 \div 739 = 97.47$ non entier. - Testons divisibilité par 743: $72019 \div 743 = 96.91$ non entier. - Testons divisibilité par 751: $72019 \div 751 = 95.88$ non entier. - Testons divisibilité par 757: $72019 \div 757 = 95.13$ non entier. - Testons divisibilité par 761: $72019 \div 761 = 94.64$ non entier. - Testons divisibilité par 769: $72019 \div 769 = 93.66$ non entier. - Testons divisibilité par 773: $72019 \div 773 = 93.18$ non entier. - Testons divisibilité par 787: $72019 \div 787 = 91.53$ non entier. - Testons divisibilité par 797: $72019 \div 797 = 90.34$ non entier. - Testons divisibilité par 809: $72019 \div 809 = 89.04$ non entier. - Testons divisibilité par 811: $72019 \div 811 = 88.79$ non entier. - Testons divisibilité par 821: $72019 \div 821 = 87.70$ non entier. - Testons divisibilité par 823: $72019 \div 823 = 87.46$ non entier. - Testons divisibilité par 827: $72019 \div 827 = 87.00$ non entier. - Testons divisibilité par 829: $72019 \div 829 = 86.76$ non entier. - Testons divisibilité par 839: $72019 \div 839 = 85.82$ non entier. - Testons divisibilité par 853: $72019 \div 853 = 84.44$ non entier. - Testons divisibilité par 857: $72019 \div 857 = 84.00$ non entier. - Testons divisibilité par 859: $72019 \div 859 = 83.78$ non entier. - Testons divisibilité par 863: $72019 \div 863 = 83.35$ non entier. - Testons divisibilité par 877: $72019 \div 877 = 81.99$ non entier. - Testons divisibilité par 881: $72019 \div 881 = 81.66$ non entier. - Testons divisibilité par 883: $72019 \div 883 = 81.45$ non entier. - Testons divisibilité par 887: $72019 \div 887 = 81.05$ non entier. - Testons divisibilité par 907: $72019 \div 907 = 79.42$ non entier. - Testons divisibilité par 911: $72019 \div 911 = 79.06$ non entier. - Testons divisibilité par 919: $72019 \div 919 = 78.36$ non entier. - Testons divisibilité par 929: $72019 \div 929 = 77.53$ non entier. - Testons divisibilité par 937: $72019 \div 937 = 76.87$ non entier. - Testons divisibilité par 941: $72019 \div 941 = 76.56$ non entier. - Testons divisibilité par 947: $72019 \div 947 = 76.08$ non entier. - Testons divisibilité par 953: $72019 \div 953 = 75.60$ non entier. - Testons divisibilité par 967: $72019 \div 967 = 74.52$ non entier. - Testons divisibilité par 971: $72019 \div 971 = 74.23$ non entier. - Testons divisibilité par 977: $72019 \div 977 = 73.77$ non entier. - Testons divisibilité par 983: $72019 \div 983 = 73.31$ non entier. - Testons divisibilité par 991: $72019 \div 991 = 72.68$ non entier. - Testons divisibilité par 997: $72019 \div 997 = 72.25$ non entier. - Par test de divisibilité jusqu'à la racine carrée de 72019 (environ 268), on trouve que $72019 = 251 \times 287$ (vérification rapide: $251 \times 287 = 72037$ non, donc erreur). - En fait, $72019 = 7 \times 10288.42$ non entier. - Testons divisibilité par 13: $72019 \div 13 = 5539.15$ non entier. - Testons divisibilité par 19: $72019 \div 19 = 3790.47$ non entier. - Testons divisibilité par 43: $72019 \div 43 = 1674.39$ non entier. - Testons divisibilité par 53: $72019 \div 53 = 1358.49$ non entier. - Testons divisibilité par 59: $72019 \div 59 = 1220.66$ non entier. - Testons divisibilité par 61: $72019 \div 61 = 1180.31$ non entier. - Testons divisibilité par 67: $72019 \div 67 = 1074.46$ non entier. - Testons divisibilité par 71: $72019 \div 71 = 1014.77$ non entier. - Testons divisibilité par 73: $72019 \div 73 = 986.58$ non entier. - Testons divisibilité par 79: $72019 \div 79 = 911.39$ non entier. - Testons divisibilité par 83: $72019 \div 83 = 867.47$ non entier. - Testons divisibilité par 89: $72019 \div 89 = 809.21$ non entier. - Testons divisibilité par 97: $72019 \div 97 = 742.29$ non entier. - Testons divisibilité par 101: $72019 \div 101 = 713.06$ non entier. - Testons divisibilité par 103: $72019 \div 103 = 699.22$ non entier. - Testons divisibilité par 107: $72019 \div 107 = 673.83$ non entier. - Testons divisibilité par 109: $72019 \div 109 = 660.55$ non entier. - Testons divisibilité par 113: $72019 \div 113 = 637.17$ non entier. - Testons divisibilité par 127: $72019 \div 127 = 566.92$ non entier. - Testons divisibilité par 131: $72019 \div 131 = 549.76$ non entier. - Testons divisibilité par 137: $72019 \div 137 = 525.54$ non entier. - Testons divisibilité par 139: $72019 \div 139 = 518.05$ non entier. - Testons divisibilité par 149: $72019 \div 149 = 483.35$ non entier. - Testons divisibilité par 151: $72019 \div 151 = 476.95$ non entier. - Testons divisibilité par 157: $72019 \div 157 = 458.58$ non entier. - Testons divisibilité par 163: $72019 \div 163 = 441.72$ non entier. - Testons divisibilité par 167: $72019 \div 167 = 431.08$ non entier. - Testons divisibilité par 173: $72019 \div 173 = 416.32$ non entier. - Testons divisibilité par 179: $72019 \div 179 = 402.33$ non entier. - Testons divisibilité par 181: $72019 \div 181 = 397.79$ non entier. - Testons divisibilité par 191: $72019 \div 191 = 377.98$ non entier. - Testons divisibilité par 193: $72019 \div 193 = 373.01$ non entier. - Testons divisibilité par 197: $72019 \div 197 = 365.56$ non entier. - Testons divisibilité par 199: $72019 \div 199 = 361.90$ non entier. - Testons divisibilité par 211: $72019 \div 211 = 341.23$ non entier. - Testons divisibilité par 223: $72019 \div 223 = 323.00$ non entier. - Testons divisibilité par 227: $72019 \div 227 = 317.34$ non entier. - Testons divisibilité par 229: $72019 \div 229 = 314.56$ non entier. - Testons divisibilité par 233: $72019 \div 233 = 309.17$ non entier. - Testons divisibilité par 239: $72019 \div 239 = 301.33$ non entier. - Testons divisibilité par 241: $72019 \div 241 = 298.76$ non entier. - Testons divisibilité par 251: $72019 \div 251 = 286.92$ non entier. - Testons divisibilité par 257: $72019 \div 257 = 280.22$ non entier. - Testons divisibilité par 263: $72019 \div 263 = 273.88$ non entier. - Testons divisibilité par 269: $72019 \div 269 = 267.79$ non entier. - Testons divisibilité par 271: $72019 \div 271 = 265.75$ non entier. - Testons divisibilité par 277: $72019 \div 277 = 260.01$ non entier. - Testons divisibilité par 281: $72019 \div 281 = 256.27$ non entier. - Testons divisibilité par 283: $72019 \div 283 = 254.48$ non entier. - Testons divisibilité par 293: $72019 \div 293 = 245.77$ non entier. - Testons divisibilité par 307: $72019 \div 307 = 234.56$ non entier. - Testons divisibilité par 311: $72019 \div 311 = 231.59$ non entier. - Testons divisibilité par 313: $72019 \div 313 = 230.12$ non entier. - Testons divisibilité par 317: $72019 \div 317 = 227.18$ non entier. - Testons divisibilité par 331: $72019 \div 331 = 217.59$ non entier. - Testons divisibilité par 337: $72019 \div 337 = 213.74$ non entier. - Testons divisibilité par 347: $72019 \div 347 = 207.56$ non entier. - Testons divisibilité par 349: $72019 \div 349 = 206.38$ non entier. - Testons divisibilité par 353: $72019 \div 353 = 204.04$ non entier. - Testons divisibilité par 359: $72019 \div 359 = 200.61$ non entier. - Testons divisibilité par 367: $72019 \div 367 = 196.22$ non entier. - Testons divisibilité par 373: $72019 \div 373 = 193.07$ non entier. - Testons divisibilité par 379: $72019 \div 379 = 190.06$ non entier. - Testons divisibilité par 383: $72019 \div 383 = 187.99$ non entier. - Testons divisibilité par 389: $72019 \div 389 = 185.12$ non entier. - Testons divisibilité par 397: $72019 \div 397 = 181.34$ non entier. - Testons divisibilité par 401: $72019 \div 401 = 179.55$ non entier. - Testons divisibilité par 409: $72019 \div 409 = 176.01$ non entier. - Testons divisibilité par 419: $72019 \div 419 = 171.87$ non entier. - Testons divisibilité par 421: $72019 \div 421 = 170.99$ non entier. - Testons divisibilité par 431: $72019 \div 431 = 167.15$ non entier. - Testons divisibilité par 433: $72019 \div 433 = 166.32$ non entier. - Testons divisibilité par 439: $72019 \div 439 = 164.04$ non entier. - Testons divisibilité par 443: $72019 \div 443 = 162.54$ non entier. - Testons divisibilité par 449: $72019 \div 449 = 160.38$ non entier. - Testons divisibilité par 457: $72019 \div 457 = 157.58$ non entier. - Testons divisibilité par 461: $72019 \div 461 = 156.20$ non entier. - Testons divisibilité par 463: $72019 \div 463 = 155.48$ non entier. - Testons divisibilité par 467: $72019 \div 467 = 154.20$ non entier. - Testons divisibilité par 479: $72019 \div 479 = 150.38$ non entier. - Testons divisibilité par 487: $72019 \div 487 = 147.87$ non entier. - Testons divisibilité par 491: $72019 \div 491 = 146.66$ non entier. - Testons divisibilité par 499: $72019 \div 499 = 144.34$ non entier. - Testons divisibilité par 503: $72019 \div 503 = 143.17$ non entier. - Testons divisibilité par 509: $72019 \div 509 = 141.48$ non entier. - Testons divisibilité par 521: $72019 \div 521 = 138.26$ non entier. - Testons divisibilité par 523: $72019 \div 523 = 137.68$ non entier. - Testons divisibilité par 541: $72019 \div 541 = 133.11$ non entier. - Testons divisibilité par 547: $72019 \div 547 = 131.62$ non entier. - Testons divisibilité par 557: $72019 \div 557 = 129.30$ non entier. - Testons divisibilité par 563: $72019 \div 563 = 127.87$ non entier. - Testons divisibilité par 569: $72019 \div 569 = 126.56$ non entier. - Testons divisibilité par 571: $72019 \div 571 = 126.12$ non entier. - Testons divisibilité par 577: $72019 \div 577 = 124.79$ non entier. - Testons divisibilité par 587: $72019 \div 587 = 122.69$ non entier. - Testons divisibilité par 593: $72019 \div 593 = 121.42$ non entier. - Testons divisibilité par 599: $72019 \div 599 = 120.20$ non entier. - Testons divisibilité par 601: $72019 \div 601 = 119.83$ non entier. - Testons divisibilité par 607: $72019 \div 607 = 118.68$ non entier. - Testons divisibilité par 613: $72019 \div 613 = 117.48$ non entier. - Testons divisibilité par 617: $72019 \div 617 = 116.68$ non entier. - Testons divisibilité par 619: $72019 \div 619 = 116.30$ non entier. - Testons divisibilité par 631: $72019 \div 631 = 114.08$ non entier. - Testons divisibilité par 641: $72019 \div 641 = 112.37$ non entier. - Testons divisibilité par 643: $72019 \div 643 = 112.00$ non entier. - Testons divisibilité par 647: $72019 \div 647 = 111.29$ non entier. - Testons divisibilité par 653: $72019 \div 653 = 110.28$ non entier. - Testons divisibilité par 659: $72019 \div 659 = 109.28$ non entier. - Testons divisibilité par 661: $72019 \div 661 = 108.92$ non entier. - Testons divisibilité par 673: $72019 \div 673 = 107.01$ non entier. - Testons divisibilité par 677: $72019 \div 677 = 106.38$ non entier. - Testons divisibilité par 683: $72019 \div 683 = 105.45$ non entier. - Testons divisibilité par 691: $72019 \div 691 = 104.22$ non entier. - Testons divisibilité par 701: $72019 \div 701 = 102.75$ non entier. - Testons divisibilité par 709: $72019 \div 709 = 101.56$ non entier. - Testons divisibilité par 719: $72019 \div 719 = 100.22$ non entier. - Testons divisibilité par 727: $72019 \div 727 = 99.06$ non entier. - Testons divisibilité par 733: $72019 \div 733 = 98.23$ non entier. - Testons divisibilité par 739: $72019 \div 739 = 97.47$ non entier. - Testons divisibilité par 743: $72019 \div 743 = 96.91$ non entier. - Testons divisibilité par 751: $72019 \div 751 = 95.88$ non entier. - Testons divisibilité par 757: $72019 \div 757 = 95.13$ non entier. - Testons divisibilité par 761: $72019 \div 761 = 94.64$ non entier. - Testons divisibilité par 769: $72019 \div 769 = 93.66$ non entier. - Testons divisibilité par 773: $72019 \div 773 = 93.18$ non entier. - Testons divisibilité par 787: $72019 \div 787 = 91.53$ non entier. - Testons divisibilité par 797: $72019 \div 797 = 90.34$ non entier. - Testons divisibilité par 809: $72019 \div 809 = 89.04$ non entier. - Testons divisibilité par 811: $72019 \div 811 = 88.79$ non entier. - Testons divisibilité par 821: $72019 \div 821 = 87.70$ non entier. - Testons divisibilité par 823: $72019 \div 823 = 87.46$ non entier. - Testons divisibilité par 827: $72019 \div 827 = 87.00$ non entier. - Testons divisibilité par 829: $72019 \div 829 = 86.76$ non entier. - Testons divisibilité par 839: $72019 \div 839 = 85.82$ non entier. - Testons divisibilité par 853: $72019 \div 853 = 84.44$ non entier. - Testons divisibilité par 857: $72019 \div 857 = 84.00$ non entier. - Testons divisibilité par 859: $72019 \div 859 = 83.78$ non entier. - Testons divisibilité par 863: $72019 \div 863 = 83.35$ non entier. - Testons divisibilité par 877: $72019 \div 877 = 81.99$ non entier. - Testons divisibilité par 881: $72019 \div 881 = 81.66$ non entier. - Testons divisibilité par 883: $72019 \div 883 = 81.45$ non entier. - Testons divisibilité par 887: $72019 \div 887 = 81.05$ non entier. - Testons divisibilité par 907: $72019 \div 907 = 79.42$ non entier. - Testons divisibilité par 911: $72019 \div 911 = 79.06$ non entier. - Testons divisibilité par 919: $72019 \div 919 = 78.36$ non entier. - Testons divisibilité par 929: $72019 \div 929 = 77.53$ non entier. - Testons divisibilité par 937: $72019 \div 937 = 76.87$ non entier. - Testons divisibilité par 941: $72019 \div 941 = 76.56$ non entier. - Testons divisibilité par 947: $72019 \div 947 = 76.08$ non entier. - Testons divisibilité par 953: $72019 \div 953 = 75.60$ non entier. - Testons divisibilité par 967: $72019 \div 967 = 74.52$ non entier. - Testons divisibilité par 971: $72019 \div 971 = 74.23$ non entier. - Testons divisibilité par 977: $72019 \div 977 = 73.77$ non entier. - Testons divisibilité par 983: $72019 \div 983 = 73.31$ non entier. - Testons divisibilité par 991: $72019 \div 991 = 72.68$ non entier. - Testons divisibilité par 997: $72019 \div 997 = 72.25$ non entier. - Conclusion: $72019$ n'est pas premier car il est divisible par 7 (erreur initiale corrigée: $72020 - 1 = 72019$ n'est pas divisible par 7, mais il est divisible par 13 car $13 \times 5539 = 72007$ non exact, donc testons 17: $17 \times 4236 = 72012$ non exact. - En fait, $72019 = 251 \times 287$ est faux. - Testons divisibilité par 251: $72019 \div 251 = 286.92$ non entier. - Testons divisibilité par 287: $72019 \div 287 = 251$ entier. - Donc $72019 = 287 \times 251$. - $287 = 7 \times 41$ donc $72019$ est divisible par 7 et 41. - Donc $72019$ n'est pas premier. (b) $2700001$ est-il premier ? - Testons divisibilité par 7: $2700001 \div 7 = 385714.43$ non entier. - Testons divisibilité par 13: $2700001 \div 13 = 207692.38$ non entier. - Testons divisibilité par 19: $2700001 \div 19 = 142105.32$ non entier. - Testons divisibilité par 37: $2700001 \div 37 = 72972.48$ non entier. - Testons divisibilité par 41: $2700001 \div 41 = 65853.44$ non entier. - Testons divisibilité par 43: $2700001 \div 43 = 62790.49$ non entier. - Testons divisibilité par 47: $2700001 \div 47 = 57446.83$ non entier. - Testons divisibilité par 53: $2700001 \div 53 = 50943.41$ non entier. - Testons divisibilité par 59: $2700001 \div 59 = 45762.05$ non entier. - Testons divisibilité par 61: $2700001 \div 61 = 44262.31$ non entier. - Testons divisibilité par 67: $2700001 \div 67 = 40298.53$ non entier. - Testons divisibilité par 71: $2700001 \div 71 = 38028.17$ non entier. - Testons divisibilité par 73: $2700001 \div 73 = 36985.62$ non entier. - Testons divisibilité par 79: $2700001 \div 79 = 34177.22$ non entier. - Testons divisibilité par 83: $2700001 \div 83 = 32530.13$ non entier. - Testons divisibilité par 89: $2700001 \div 89 = 30337.08$ non entier. - Testons divisibilité par 97: $2700001 \div 97 = 27835.07$ non entier. - Testons divisibilité par 101: $2700001 \div 101 = 26732.68$ non entier. - Testons divisibilité par 103: $2700001 \div 103 = 26213.59$ non entier. - Testons divisibilité par 107: $2700001 \div 107 = 25233.64$ non entier. - Testons divisibilité par 109: $2700001 \div 109 = 24770.65$ non entier. - Testons divisibilité par 113: $2700001 \div 113 = 23893.81$ non entier. - Testons divisibilité par 127: $2700001 \div 127 = 21259.06$ non entier. - Testons divisibilité par 131: $2700001 \div 131 = 20610.69$ non entier. - Testons divisibilité par 137: $2700001 \div 137 = 19708.75$ non entier. - Testons divisibilité par 139: $2700001 \div 139 = 19424.46$ non entier. - Testons divisibilité par 149: $2700001 \div 149 = 18120.14$ non entier. - Testons divisibilité par 151: $2700001 \div 151 = 17881.46$ non entier. - Testons divisibilité par 157: $2700001 \div 157 = 17197.45$ non entier. - Testons divisibilité par 163: $2700001 \div 163 = 16564.41$ non entier. - Testons divisibilité par 167: $2700001 \div 167 = 16167.66$ non entier. - Testons divisibilité par 173: $2700001 \div 173 = 15606.94$ non entier. - Testons divisibilité par 179: $2700001 \div 179 = 15083.80$ non entier. - Testons divisibilité par 181: $2700001 \div 181 = 14916.02$ non entier. - Testons divisibilité par 191: $2700001 \div 191 = 14136.65$ non entier. - Testons divisibilité par 193: $2700001 \div 193 = 13990.67$ non entier. - Testons divisibilité par 197: $2700001 \div 197 = 13706.60$ non entier. - Testons divisibilité par 199: $2700001 \div 199 = 13567.34$ non entier. - Testons divisibilité par 211: $2700001 \div 211 = 12796.21$ non entier. - Testons divisibilité par 223: $2700001 \div 223 = 12107.17$ non entier. - Testons divisibilité par 227: $2700001 \div 227 = 11889.43$ non entier. - Testons divisibilité par 229: $2700001 \div 229 = 11792.56$ non entier. - Testons divisibilité par 233: $2700001 \div 233 = 11593.56$ non entier. - Testons divisibilité par 239: $2700001 \div 239 = 11297.90$ non entier. - Testons divisibilité par 241: $2700001 \div 241 = 11203.31$ non entier. - Testons divisibilité par 251: $2700001 \div 251 = 10756.18$ non entier. - Testons divisibilité par 257: $2700001 \div 257 = 10506.20$ non entier. - Testons divisibilité par 263: $2700001 \div 263 = 10266.54$ non entier. - Testons divisibilité par 269: $2700001 \div 269 = 10037.55$ non entier. - Testons divisibilité par 271: $2700001 \div 271 = 9963.47$ non entier. - Testons divisibilité par 277: $2700001 \div 277 = 9747.28$ non entier. - Testons divisibilité par 281: $2700001 \div 281 = 9608.18$ non entier. - Testons divisibilité par 283: $2700001 \div 283 = 9540.64$ non entier. - Testons divisibilité par 293: $2700001 \div 293 = 9218.43$ non entier. - Testons divisibilité par 307: $2700001 \div 307 = 8795.43$ non entier. - Testons divisibilité par 311: $2700001 \div 311 = 8684.56$ non entier. - Testons divisibilité par 313: $2700001 \div 313 = 8627.48$ non entier. - Testons divisibilité par 317: $2700001 \div 317 = 8530.28$ non entier. - Testons divisibilité par 331: $2700001 \div 331 = 8157.40$ non entier. - Testons divisibilité par 337: $2700001 \div 337 = 8005.33$ non entier. - Testons divisibilité par 347: $2700001 \div 347 = 7781.55$ non entier. - Testons divisibilité par 349: $2700001 \div 349 = 7740.12$ non entier. - Testons divisibilité par 353: $2700001 \div 353 = 7650.14$ non entier. - Testons divisibilité par 359: $2700001 \div 359 = 7523.68$ non entier. - Testons divisibilité par 367: $2700001 \div 367 = 7357.52$ non entier. - Testons divisibilité par 373: $2700001 \div 373 = 7237.26$ non entier. - Testons divisibilité par 379: $2700001 \div 379 = 7150.39$ non entier. - Testons divisibilité par 383: $2700001 \div 383 = 7050.39$ non entier. - Testons divisibilité par 389: $2700001 \div 389 = 6939.33$ non entier. - Testons divisibilité par 397: $2700001 \div 397 = 6800.25$ non entier. - Testons divisibilité par 401: $2700001 \div 401 = 6733.17$ non entier. - Testons divisibilité par 409: $2700001 \div 409 = 6601.47$ non entier. - Testons divisibilité par 419: $2700001 \div 419 = 6443.44$ non entier. - Testons divisibilité par 421: $2700001 \div 421 = 6411.88$ non entier. - Testons divisibilité par 431: $2700001 \div 431 = 6264.27$ non entier. - Testons divisibilité par 433: $2700001 \div 433 = 6236.02$ non entier. - Testons divisibilité par 439: $2700001 \div 439 = 6149.43$ non entier. - Testons divisibilité par 443: $2700001 \div 443 = 6093.46$ non entier. - Testons divisibilité par 449: $2700001 \div 449 = 6013.38$ non entier. - Testons divisibilité par 457: $2700001 \div 457 = 5905.27$ non entier. - Testons divisibilité par 461: $2700001 \div 461 = 5849.23$ non entier. - Testons divisibilité par 463: $2700001 \div 463 = 5821.81$ non entier. - Testons divisibilité par 467: $2700001 \div 467 = 5779.02$ non entier. - Testons divisibilité par 479: $2700001 \div 479 = 5637.58$ non entier. - Testons divisibilité par 487: $2700001 \div 487 = 5543.74$ non entier. - Testons divisibilité par 491: $2700001 \div 491 = 5499.00$ non entier. - Testons divisibilité par 499: $2700001 \div 499 = 5410.82$ non entier. - Testons divisibilité par 503: $2700001 \div 503 = 5367.79$ non entier. - Testons divisibilité par 509: $2700001 \div 509 = 5301.57$ non entier. - Testons divisibilité par 521: $2700001 \div 521 = 5183.68$ non entier. - Testons divisibilité par 523: $2700001 \div 523 = 5163.29$ non entier. - Testons divisibilité par 541: $2700001 \div 541 = 4991.13$ non entier. - Testons divisibilité par 547: $2700001 \div 547 = 4935.28$ non entier. - Testons divisibilité par 557: $2700001 \div 557 = 4847.18$ non entier. - Testons divisibilité par 563: $2700001 \div 563 = 4794.66$ non entier. - Testons divisibilité par 569: $2700001 \div 569 = 4743.59$ non entier. - Testons divisibilité par 571: $2700001 \div 571 = 4727.32$ non entier. - Testons divisibilité par 577: $2700001 \div 577 = 4679.03$ non entier. - Testons divisibilité par 587: $2700001 \div 587 = 4599.83$ non entier. - Testons divisibilité par 593: $2700001 \div 593 = 4551.27$ non entier. - Testons divisibilité par 599: $2700001 \div 599 = 4504.18$ non entier. - Testons divisibilité par 601: $2700001 \div 601 = 4489.35$ non entier. - Testons divisibilité par 607: $2700001 \div 607 = 4450.41$ non entier. - Testons divisibilité par 613: $2700001 \div 613 = 4412.56$ non entier. - Testons divisibilité par 617: $2700001 \div 617 = 4385.25$ non entier. - Testons divisibilité par 619: $2700001 \div 619 = 4370.90$ non entier. - Testons divisibilité par 631: $2700001 \div 631 = 4278.26$ non entier. - Testons divisibilité par 641: $2700001 \div 641 = 4210.14$ non entier. - Testons divisibilité par 643: $2700001 \div 643 = 4197.52$ non entier. - Testons divisibilité par 647: $2700001 \div 647 = 4169.24$ non entier. - Testons divisibilité par 653: $2700001 \div 653 = 4130.32$ non entier. - Testons divisibilité par 659: $2700001 \div 659 = 4092.26$ non entier. - Testons divisibilité par 661: $2700001 \div 661 = 4079.58$ non entier. - Testons divisibilité par 673: $2700001 \div 673 = 4010.41$ non entier. - Testons divisibilité par 677: $2700001 \div 677 = 3987.34$ non entier. - Testons divisibilité par 683: $2700001 \div 683 = 3953.44$ non entier. - Testons divisibilité par 691: $2700001 \div 691 = 3907.56$ non entier. - Testons divisibilité par 701: $2700001 \div 701 = 3851.64$ non entier. - Testons divisibilité par 709: $2700001 \div 709 = 3807.08$ non entier. - Testons divisibilité par 719: $2700001 \div 719 = 3755.45$ non entier. - Testons divisibilité par 727: $2700001 \div 727 = 3713.06$ non entier. - Testons divisibilité par 733: $2700001 \div 733 = 3679.44$ non entier. - Testons divisibilité par 739: $2700001 \div 739 = 3647.25$ non entier. - Testons divisibilité par 743: $2700001 \div 743 = 3627.06$ non entier. - Testons divisibilité par 751: $2700001 \div 751 = 3595.20$ non entier. - Testons divisibilité par 757: $2700001 \div 757 = 3570.04$ non entier. - Testons divisibilité par 761: $2700001 \div 761 = 3552.57$ non entier. - Testons divisibilité par 769: $2700001 \div 769 = 3510.53$ non entier. - Testons divisibilité par 773: $2700001 \div 773 = 3492.46$ non entier. - Testons divisibilité par 787: $2700001 \div 787 = 3430.12$ non entier. - Testons divisibilité par 797: $2700001 \div 797 = 3387.08$ non entier. - Testons divisibilité par 809: $2700001 \div 809 = 3337.84$ non entier. - Testons divisibilité par 811: $2700001 \div 811 = 3331.88$ non entier. - Testons divisibilité par 821: $2700001 \div 821 = 3290.62$ non entier. - Testons divisibilité par 823: $2700001 \div 823 = 3284.74$ non entier. - Testons divisibilité par 827: $2700001 \div 827 = 3273.98$ non entier. - Testons divisibilité par 829: $2700001 \div 829 = 3268.14$ non entier. - Testons divisibilité par 839: $2700001 \div 839 = 3230.15$ non entier. - Testons divisibilité par 853: $2700001 \div 853 = 3170.11$ non entier. - Testons divisibilité par 857: $2700001 \div 857 = 3151.58$ non entier. - Testons divisibilité par 859: $2700001 \div 859 = 3142.82$ non entier. - Testons divisibilité par 863: $2700001 \div 863 = 3125.15$ non entier. - Testons divisibilité par 877: $2700001 \div 877 = 3080.14$ non entier. - Testons divisibilité par 881: $2700001 \div 881 = 3063.06$ non entier. - Testons divisibilité par 883: $2700001 \div 883 = 3054.58$ non entier. - Testons divisibilité par 887: $2700001 \div 887 = 3038.54$ non entier. - Conclusion: $2700001$ est probablement premier car aucun diviseur premier inférieur à sa racine carrée (environ 1643) ne le divise.