1. Énonçons le problème : Trouver tous les entiers naturels $n$ tels que $$\frac{(n+2)(n+5)+8}{n+2} \in \mathbb{N}.$$\n\n2. Simplifions l'expression au numérateur : $$(n+2)(n+5) + 8 = (n^2 + 5n + 2n + 10) + 8 = n^2 + 7n + 18.$$\n\n3. L'expression devient donc : $$\frac{n^2 + 7n + 18}{n+2}.$$\n\n4. Effectuons la division euclidienne de $n^2 + 7n + 18$ par $n+2$ :\n - Dividende : $n^2 + 7n + 18$\n - Diviseur : $n+2$\n\n5. Trouvons le quotient $Q$ et le reste $R$ :\n - Le quotient $Q = n + 5$, car $$n\times (n+2) = n^2 + 2n.$$\n - Soustrayons : $n^2 + 7n + 18 - (n^2 + 2n) = 5n + 18.$\n - Ensuite, divisons $5n + 18$ par $n + 2$: le terme est 5, car $$5 \times (n+2) = 5n + 10.$$\n - Soustrayons : $5n + 18 - (5n + 10) = 8.$\n\n6. Donc, $$n^2 + 7n + 18 = (n+2)(n+5) + 8,$$ et la division donne \n$$\frac{n^2 + 7n + 18}{n+2} = n + 5 + \frac{8}{n+2}.$$\n\n7. Pour que la fraction soit un entier naturel, le dernier terme doit être entier, soit $$\frac{8}{n+2} \in \mathbb{N}.$$\n\n8. Comme $n$ est naturel (donc $n+2 \geq 2$), on cherche les diviseurs naturels positifs de 8 supérieurs ou égaux à 2.\nLes diviseurs positifs de 8 sont : $1, 2, 4, 8$. Ici, $n+2$ doit être parmi $2, 4, 8$.\n\n9. Évaluons les cas :\n- Si $n + 2 = 2$, alors $n = 0$.\n- Si $n + 2 = 4$, alors $n = 2$.\n- Si $n + 2 = 8$, alors $n = 6$.\n\n10. Vérifions que pour ces valeurs, l'expression est bien un entier :\n- $n=0$ : $$\frac{(0+2)(0+5)+8}{0+2} = \frac{2*5 + 8}{2} = \frac{10+8}{2} = 9.$$ Entier naturel.\n- $n=2$ : $$\frac{(2+2)(2+5)+8}{2+2} = \frac{4*7 + 8}{4} = \frac{28 + 8}{4} = 9.$$ Entier naturel.\n- $n=6$ : $$\frac{(6+2)(6+5)+8}{6+2} = \frac{8*11 + 8}{8} = \frac{88 + 8}{8} = 12.$$ Entier naturel.\n\n11. Conclusion : Les entiers naturels $n$ vérifiant la condition sont $\boxed{0, 2, 6}$.