1. Montrons que 9 divise \(8^{17} + 4^{24}\). - Observons \(8 \equiv -1 \pmod{9}\) car \(8 = 9 - 1\). - Alors \(8^{17} \equiv (-1)^{17} = -1 \pmod{9}\). - De même, \(4^{3} = 64 \equiv 1 \pmod{9}\) car \(64 - 1 = 63\) est multiple de 9. - Donc \(4^{24} = (4^3)^8 \equiv 1^8 = 1 \pmod{9}\). - En additionnant : \(8^{17} + 4^{24} \equiv -1 + 1 = 0 \pmod{9}\). - Conclusion: 9 divise \(8^{17} + 4^{24}\). 2. Montrons que 10 divise \(15n^2 + 15n\) pour \(n \in \mathbb{N}\). - Factorisons: \(15n^2 + 15n = 15n(n + 1)\). - Entre deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\), l'un est pair, donc \(2\) divise \(n(n+1)\). - De plus, \(15 = 3 \times 5\). - Donc \(15n(n+1) = 3 \times 5 \times \text{(un multiple de 2)} = 30 \times \text{quelque chose}\). - Ainsi, 10 divise \(15n^2 + 15n\). 3. Trouvons l'ensemble des entiers naturels \(n\) tels que \((n+5)\) divise \((2n + 7)\). - Écrivons \(2n + 7 = k(n + 5)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). - Donc \(2n + 7 = kn + 5k \Rightarrow (2 - k)n = 5k - 7\). - Regardons les valeurs possibles de \(k\) pour que \(n\) soit un entier naturel. - \(n = \frac{5k - 7}{2 - k}\). - Testons les valeurs entières de \(k\) telles que le dénominateur est non nul et \(n \geq 0\). - Pour \(k=1\), \(n = \frac{5(1) - 7}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\) (non naturel). - Pour \(k=0\), \(n = \frac{0 - 7}{2} = -3.5\) (non entier). - Pour \(k=2\), dénominateur nul, exclu. - Pour \(k=3\), \(n = \frac{15 - 7}{2 - 3} = \frac{8}{-1} = -8\) (non naturel). - Pour \(k=4\), \(n = \frac{20 -7}{2 -4} = \frac{13}{-2} = -6.5\). - Pour \(k=-1\), \(n = \frac{-5 - 7}{2 + 1} = \frac{-12}{3} = -4\). - Pour \(k=-2\), \(n = \frac{-10 - 7}{2 + 2} = \frac{-17}{4} = -4.25\). - On voit que aucune valeur de \(k\) donne un \(n\) naturel. - Testons directement les petits \(n\) pour vérifier si \(n+5\) divise \(2n + 7\). - \(n=0\) : 5 ne divise pas 7. - \(n=1\) : 6 ne divise pas 9. - \(n=2\) : 7 divise 11 ? Non. - \(n=3\) : 8 ne divise pas 13. - \(n=4\) : 9 ne divise pas 15. - \(n=5\) : 10 ne divise pas 17. - \(n=7\) : 12 ne divise pas 21. - Pas d'entiers naturels \(n\) satisfaisant la condition sauf si on considère \(n=-12\) par exemple, mais \(n \geq 0\) exclu. - Conclusion : L'ensemble est vide. 4.a Montrons que si \(d\) divise \(a\) et \(b\) alors \(d\) divise \(|ac - eb|\), pour \(a,b,c,d,e\) entiers naturels. - Puisque \(d\) divise \(a\), il existe \(k\) tel que \(a = kd\). - Puisque \(d\) divise \(b\), il existe \(l\) tel que \(b = ld\). - Considérons \(ac - eb\). - Comme \(d\) divise \(a\), \(ac = kdc\) est multiple de \(d\). - Le terme \(eb\) peut être réécrit \(e(ld) = eld\), multiple aussi de \(d\). - La différence de deux multiples de \(d\) est multiple de \(d\). - Donc \(d\) divise \(ac - eb\) et aussi \(|ac - eb|\). 4.b Déduisons \(\mathrm{PGCD}(21n + 4, 7n - 1)\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\). - Posons \(a = 21n + 4\) et \(b = 7n - 1\). - Utilisons la propriété de divisibilité de la partie a) : - \(d = \mathrm{PGCD}(a,b)\) divise \(a - 3b\) car \(a - 3b = 21n + 4 - 3(7n - 1) = 21n + 4 - 21n + 3 = 7\). - Donc \(d\) divise 7. - \(d\) divise aussi \(b = 7n -1\). - Si \(d\) divise 7 et \(b\), il divise leur combinaison. - Considérons \(7n -1 \equiv \bmod d\). - Comme \(d\) divise 7, \(7 \equiv 0 \pmod d\) donc \(7n \equiv 0 \pmod d\). - Donc \(b = 7n -1 \equiv -1 \pmod d\). - Cela implique que \(-1 \equiv 0 \pmod d\) donc \(d\) divise 1. - Le seul diviseur commun possible de 7 et \(7n -1\) est 1. - Conclusion : \(\mathrm{PGCD}(21n + 4, 7n - 1) = 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).