1. Énonçons le problème : Trouver tous les entiers $n \in \mathbb{Z}$ tels que $n^2 + 7$ divise $n^3 + 5$. 2. Cela signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $$n^3 + 5 = k(n^2 + 7).$$ 3. Réécrivons cette équation : $$n^3 + 5 = k n^2 + 7k.$$ 4. Isolons $k$ : $$k = \frac{n^3 + 5}{n^2 + 7}.$$ Pour que $k$ soit entier, le dénominateur doit diviser le numérateur. 5. Effectuons la division euclidienne de $n^3 + 5$ par $n^2 + 7$ : $$n^3 + 5 = (n)(n^2 + 7) + (5 - 7n) = n^3 + 7n + 5 - 7n = n^3 + 5.$$ Le reste est donc $5 - 7n$. 6. Pour que $n^2 + 7$ divise $n^3 + 5$, le reste doit être divisible par $n^2 + 7$, donc : $$n^2 + 7 \mid 5 - 7n.$$ 7. Or, $|5 - 7n| < n^2 + 7$ pour $|n|$ assez grand, donc $n^2 + 7$ divise $5 - 7n$ seulement si $n^2 + 7$ divise exactement $5 - 7n$. 8. Comme $n^2 + 7 > 0$ pour tout $n$, et $n^2 + 7 \mid 5 - 7n$, cela implique que $n^2 + 7 \leq |5 - 7n|$ ou que $5 - 7n = 0$. 9. Testons les petites valeurs entières de $n$ pour vérifier la divisibilité : - $n=0$: $n^2+7=7$, $n^3+5=5$, 7 ne divise pas 5. - $n=1$: $1+7=8$, $1+5=6$, 8 ne divise pas 6. - $n=2$: $4+7=11$, $8+5=13$, 11 ne divise pas 13. - $n=3$: $9+7=16$, $27+5=32$, 16 divise 32, donc $n=3$ est solution. - $n=4$: $16+7=23$, $64+5=69$, 23 ne divise pas 69. - $n=5$: $25+7=32$, $125+5=130$, 32 ne divise pas 130. 10. Testons aussi les négatifs : - $n=-1$: $1+7=8$, $-1+5=4$, 8 ne divise pas 4. - $n=-2$: $4+7=11$, $-8+5=-3$, 11 ne divise pas -3. - $n=-3$: $9+7=16$, $-27+5=-22$, 16 ne divise pas -22. - $n=-4$: $16+7=23$, $-64+5=-59$, 23 ne divise pas -59. 11. Vérifions $n=7$ car $5 - 7n = 5 - 49 = -44$ et $n^2 + 7 = 49 + 7 = 56$, 56 ne divise pas -44. 12. Conclusion : la seule valeur entière $n$ telle que $n^2 + 7$ divise $n^3 + 5$ est $\boxed{3}$.