1. Énoncé du problème : Montrer que pour tout entier naturel $n$, la propriété $P(n)$ suivante est vraie : $n^2 + 3$ est divisible par 3. 2. Formule et règles importantes : Pour montrer qu'une expression est divisible par 3, il faut démontrer que cette expression est un multiple de 3, c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que l'expression = $3k$. 3. Raisonnement par cas selon la division euclidienne de $n$ par 3 : Tout entier naturel $n$ peut s'écrire sous la forme $n = 3q$, $n = 3q + 1$ ou $n = 3q + 2$ où $q$ est un entier naturel. 4. Calculs intermédiaires : - Si $n = 3q$, alors $$n^2 + 3 = (3q)^2 + 3 = 9q^2 + 3 = 3(3q^2 + 1)$$ qui est divisible par 3. - Si $n = 3q + 1$, alors $$n^2 + 3 = (3q + 1)^2 + 3 = (9q^2 + 6q + 1) + 3 = 9q^2 + 6q + 4 = 3(3q^2 + 2q + 1) + 1$$ qui laisse un reste 1 à la division par 3, donc n'est pas divisible par 3. - Si $n = 3q + 2$, alors $$n^2 + 3 = (3q + 2)^2 + 3 = (9q^2 + 12q + 4) + 3 = 9q^2 + 12q + 7 = 3(3q^2 + 4q + 2) + 1$$ qui laisse aussi un reste 1 à la division par 3, donc n'est pas divisible par 3. 5. Conclusion : La propriété $P(n)$ n'est vraie que lorsque $n$ est un multiple de 3. Pour les autres entiers naturels, $n^2 + 3$ n'est pas divisible par 3. Donc, $P(n)$ n'est pas vrai pour tout entier naturel $n$. Finalement, la propriété $P(n)$ est fausse en général.