1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout entier naturel $n$, $\frac{n(n^2+1)}{2}$ est un entier naturel. 2. **Formule et règles importantes :** Nous devons prouver que l'expression $\frac{n(n^2+1)}{2}$ est un entier, c'est-à-dire que le numérateur est divisible par 2. 3. **Travail intermédiaire :** - Calculons $n(n^2+1) = n^3 + n$. - Nous devons montrer que $n^3 + n$ est divisible par 2. 4. **Analyse de la divisibilité :** - Si $n$ est pair, alors $n = 2k$ pour un certain entier $k$, donc $n^3 + n = 2k( (2k)^2 + 1 )$ est clairement divisible par 2. - Si $n$ est impair, alors $n = 2k + 1$, calculons $n^3 + n$ modulo 2 : $$ (2k+1)^3 + (2k+1) \equiv 1 + 1 = 2 \equiv 0 \pmod{2} $$ Donc $n^3 + n$ est aussi divisible par 2 dans ce cas. 5. **Conclusion :** Dans tous les cas, $n^3 + n$ est divisible par 2, donc $\frac{n(n^2+1)}{2}$ est un entier naturel. **Réponse finale :** Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{n(n^2+1)}{2} \in \mathbb{N}$.