1. **Énoncé du problème :** Nous cherchons l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n+5$ divise $2n+7$. 2. **Question a : Montrer que si $d$ divise $a$ et $b$ alors $d$ divise $|ac - eb|$ où $a,b,c,d,e$ sont des entiers naturels.** 3. Puisque $d$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a = kd$. 4. Puisque $d$ divise $b$, il existe un entier $l$ tel que $b = ld$. 5. Considérons l'expression $|ac - eb|$. 6. En substituant, $ac = kdc$ et $eb = eld$. 7. Donc, $|ac - eb| = |kdc - eld| = d|kc - el|$. 8. Comme $k,c,e,l$ sont des entiers, $|kc - el|$ est un entier. 9. Ainsi, $d$ divise $|ac - eb|$. **Conclusion :** Si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise aussi $|ac - eb|$. 10. **Résolution du problème principal :** Trouver les $n$ tels que $n+5$ divise $2n+7$. 11. Posons $d = n + 5$, $a = 2n + 7$. 12. La condition est : $dig|a$, c'est-à-dire $n+5 ig| 2n+7$. 13. Cela signifie qu'il existe un entier $k$ tel que $2n + 7 = k(n + 5)$. 14. Développons : $$2n + 7 = kn + 5k$$ 15. Regroupons les termes en $n$ : $$2n - kn = 5k - 7$$ 16. Factorisons $n$ : $$n(2-k) = 5k - 7$$ 17. Ainsi, $$n = \frac{5k - 7}{2 - k}$$ 18. Puisque $n$ est un entier naturel, le dénominateur $2 - k$ doit diviser exactement $5k - 7$ et $n \\geq 0$. 19. Examinons les valeurs possibles de $k$ entiers telles que le quotient soit entier positif. 20. Pour $k=0$ : $$n = \frac{5\times0 -7}{2 - 0} = \frac{-7}{2} = -3.5$$ (pas naturel). 21. Pour $k=1$ : $$n = \frac{5 -7}{2 -1} = \frac{-2}{1} = -2$$ (pas naturel). 22. Pour $k=2$ : dénominateur $2-2=0$ interdit. 23. Pour $k=3$ : $$n = \frac{15 - 7}{2 - 3} = \frac{8}{-1} = -8$$ (pas naturel). 24. Pour $k=4$ : $$n = \frac{20 -7}{2 -4} = \frac{13}{-2} = -6.5$$ (pas naturel). 25. Pour $k=5$ : $$n = \frac{25 -7}{2 -5} = \frac{18}{-3} = -6$$ (pas naturel). 26. Pour $k=6$ : $$n = \frac{30 -7}{2 -6} = \frac{23}{-4} = -5.75$$ (pas naturel). 27. Testons $k < 0$. 28. Pour $k = -1$ : $$n = \frac{-5 -7}{2 - (-1)} = \frac{-12}{3} = -4$$ (pas naturel). 29. Pour $k = -2$ : $$n = \frac{-10 -7}{2 - (-2)} = \frac{-17}{4} = -4.25$$ (pas naturel). 30. Pour $k = -3$ : $$n = \frac{-15 -7}{2 - (-3)} = \frac{-22}{5} = -4.4$$ (pas naturel). 31. Enfin, testons $k=7$ : $$n = \frac{35 - 7}{2 -7} = \frac{28}{-5} = -5.6$$ (pas naturel). 32. Puisque les valeurs générées sont négatives, essayons une autre approche. 33. Remarquons que $n+5 ig| 2n + 7$ implique $n+5 ig| (2n+7) - 2(n+5) = 2n + 7 - 2n - 10 = -3$. 34. Donc, $n+5$ divise $3$. 35. En tant que divisieur de $3$, $n + 5$ est un diviseur positif de $3$, donc $n + 5 \\in \{1, 3\}$. 36. Puisque $n$ est naturel, $n + 5 \geq 5$. 37. Or $1$ et $3$ sont strictement inférieurs à $5$, donc c'est impossible. 38. Vérifions les diviseurs négatifs (non naturels pour $n+5$, mais pas interdit), en théorie, si on accepte les entiers relatifs. 39. Diviseurs de $3$ sont $\pm1, \pm3$. 40. Pour $n+5 = 1$, alors $n = -4$ (pas naturel). 41. Pour $n+5=3$, $n = -2$ (pas naturel). 42. Pour $n+5=-1$, $n=-6$ (pas naturel). 43. Pour $n+5=-3$, $n=-8$ (pas naturel). 44. Conclusion : Aucun $n$ naturel ne satisfait la condition. **Réponse finale :** $\boxed{\varnothing}$ (ensemble vide).