**Exercice sur les nombres a et b :** Soit $a = 45 \times 8^3 \times 120$ et $b = 14 \times 850$. 1. Donner le nombre de diviseurs de $a$ et de $b$. 2. Déterminer le PGCD$(a,b)$ et le PPCM$(a,b)$. 3. Déterminer le plus petit entier $p$ tel que $p \times a$ soit un carré parfait. 4. Déterminer le plus petit entier $q$ tel que $b \times q$ soit un carré parfait. 5. Simplifier les nombres $\dfrac{a}{b}$ et $\sqrt{ab}$. --- **Résolution :** 1. **Décomposition en facteurs premiers** : - $45 = 3^2 \times 5$ - $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$ - $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ Donc $$a = 45 \times 8^3 \times 120 = (3^2 \times 5) \times 2^9 \times (2^3 \times 3 \times 5) = 2^{9+3} \times 3^{2+1} \times 5^{1+1} = 2^{12} \times 3^{3} \times 5^{2}.$$ Pour $b$ : - $14 = 2 \times 7$ - $850 = 2 \times 5^2 \times 17$ Donc $$b = 14 \times 850 = 2 \times 7 \times 2 \times 5^2 \times 17 = 2^{2} \times 5^{2} \times 7^{1} \times 17^{1}.$$ 2. **Nombre de diviseurs** : Le nombre de diviseurs d'un nombre $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$ est $$d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1).$$ - Pour $a = 2^{12} \times 3^3 \times 5^2$, $$d(a) = (12 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 13 \times 4 \times 3 = 156.$$ - Pour $b = 2^2 \times 5^2 \times 7^1 \times 17^1$, $$d(b) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36.$$ 3. **PGCD$(a,b)$** : prendre les exposants minimums pour chaque facteur premier commun : - $2^{\min(12,2)} = 2^2$ - $3^{\min(3,0)} = 3^0 = 1$ - $5^{\min(2,2)} = 5^2$ - $7^{\min(0,1)} = 7^0 =1$ - $17^{\min(0,1)}=1$ Donc $$\mathrm{PGCD}(a,b) = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100.$$ 4. **PPCM$(a,b)$** : prendre les exposants maximums de chaque facteur premier (présent dans $a$ ou $b$): - $2^{\max(12,2)} = 2^{12}$ - $3^{\max(3,0)}=3^3$ - $5^{\max(2,2)}=5^2$ - $7^{\max(0,1)}=7^1$ - $17^{\max(0,1)}=17^1$ Donc $$\mathrm{PPCM}(a,b) = 2^{12} \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \times 17.$$ 5. **Plus petit entier $p$ tel que $p \times a$ soit un carré parfait** : On analyse chaque exposant de $a = 2^{12} \times 3^{3} \times 5^{2}$. - Pour que $p \times a$ soit carré parfait, les exposants après multiplication doivent être pairs. - $2^{12}$ est déjà pair (12), pas besoin de contribution. - $3^{3}$ : exposant impair (3), il faut 1 facteur $3$ pour rendre l'exposant $3+1=4$ pair. - $5^{2}$ est pair. Donc $$p = 3^{1} = 3.$$ 6. **Plus petit entier $q$ tel que $b \times q$ soit un carré parfait** : Pour $b = 2^{2} \times 5^{2} \times 7^{1} \times 17^{1}$ - $2^{2}$ est pair. - $5^{2}$ est pair. - $7^{1}$ est impair, besoin d’un facteur $7$. - $17^{1}$ est impair, besoin d’un facteur $17$. Donc $$q = 7 \times 17 = 119.$$ 7. **Simplifier $\dfrac{a}{b}$** : $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{2^{12} \times 3^{3} \times 5^{2}}{2^{2} \times 5^{2} \times 7 \times 17} = 2^{12-2} \times 3^{3} \times 5^{2-2} \times 7^{-1} \times 17^{-1} = 2^{10} \times 3^{3} \times \dfrac{1}{7 \times 17}.$$ Donc $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{2^{10} \times 3^{3}}{7 \times 17} = \dfrac{1024 \times 27}{119} = \dfrac{27648}{119}.$$ Pas de simplification supplémentaire car $119=7 \times 17$ ne divise pas le numérateur. 8. **Simplifier $\sqrt{ab}$** : On a $$ab = \left(2^{12} \times 3^{3} \times 5^{2}\right) \times \left(2^{2} \times 5^{2} \times 7 \times 17\right) = 2^{14} \times 3^{3} \times 5^{4} \times 7^{1} \times 17^{1}.$$ En racine carrée : $$\sqrt{ab} = 2^{7} \times 3^{1} \times 5^{2} \times \sqrt{3 \times 7 \times 17} = 2^{7} \times 3 \times 5^{2} \times \sqrt{357}.$$ Calcul numérique en partie entière : $$2^{7} = 128, \quad 5^{2} = 25,$$ donc $$\sqrt{ab} = 128 \times 3 \times 25 \times \sqrt{357} = 9600 \times \sqrt{357}.$$ --- **Exercice 19 :** 1. Montrer que $n = xyz - zyx$ est un multiple de 99. Décomposons : $$xyz = 100x + 10y + z$$ $$zyx = 100z + 10y + x$$ Donc $$n = (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 99x - 99z = 99(x - z),$$ qui est divisible par 99. 2. Montrer que si $y = x + z$, alors $N = xyz$ est divisible par 11. On peut écrire $$N = 100x + 10y + z = 100x + 10(x + z) + z = 100x + 10x + 10z + z = 110x + 11z = 11(10x + z),$$ qui est divisible par 11. **Réponses finales :** - Nombre de diviseurs : $d(a)=156$, $d(b)=36$. - PGCD$(a,b) = 100$. - PPCM$(a,b) = 2^{12} \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \times 17$. - Plus petit $p$ pour carré parfait : $p=3$. - Plus petit $q$ pour carré parfait : $q=119$. - Simplification : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{27648}{119}$. - Simplification : $\sqrt{ab} = 9600 \sqrt{357}$. - L'expression $n=xyz-zyx$ est multiple de 99. - Si $y = x+z$, alors $N$ est divisible par 11.