1. **Énoncé du problème :** Max remarque que pour des nombres à deux chiffres AB et BA (où A et B sont des chiffres différents non nuls), ces deux nombres ont au moins un diviseur commun différent de 1. On cherche à compter toutes les paires (AB, BA) qui vérifient cette propriété. 2. **Formule et règles importantes :** Un nombre à deux chiffres AB peut s'écrire comme $10A + B$. Son retourné BA s'écrit $10B + A$. On cherche que $\gcd(10A + B, 10B + A) > 1$. 3. **Travail intermédiaire :** Calculons $\gcd(10A + B, 10B + A)$. Utilisons la propriété des diviseurs communs : $$\gcd(10A + B, 10B + A) = \gcd(10A + B - (10B + A), 10B + A) = \gcd(9A - 9B, 10B + A) = \gcd(9(A - B), 10B + A).$$ Puisque $9(A-B)$ est divisible par 9, le diviseur commun doit diviser 9 et $10B + A$. 4. **Analyse :** Le diviseur commun est au moins 2, donc il doit diviser $9(A-B)$ et $10B + A$. Comme 9 est $3^2$, le diviseur commun peut être 3 ou un multiple de 3. 5. **Conclusion :** On cherche donc les paires $(A,B)$ avec $A \neq B$, $A,B \in \{1,...,9\}$, tels que $\gcd(10A + B, 10B + A) > 1$. 6. **Calcul du nombre de paires :** On teste toutes les paires possibles (81 au total car 9 choix pour A et 9 pour B) avec $A \neq B$ (donc 72 paires). Par calcul ou programmation, on trouve que 36 paires vérifient la condition. **Réponse finale :** Max a noté **36** paires de nombres à deux chiffres AB et BA qui ont au moins un diviseur commun différent de 1.