1. **Énoncé du problème 1 :** Déterminer quelle congruence est correcte parmi les options données. 2. **Analyse de chaque option :** - Option A : $$648 \equiv 19 \pmod{17}$$ Calculons $$648 \mod 17$$ : $$17 \times 38 = 646$$, reste $$648 - 646 = 2$$, donc $$648 \equiv 2 \pmod{17}$$, pas 19. - Option B : $$648 \equiv -2 \pmod{17}$$ $$-2 \equiv 15 \pmod{17}$$ car $$17 - 2 = 15$$, mais $$648 \equiv 2$$, donc non. - Option C : $$668 \equiv 2 \pmod{37}$$ Calculons $$668 \mod 37$$ : $$37 \times 18 = 666$$, reste $$2$$, donc vrai. - Option D : $$628 \equiv -1 \pmod{37}$$ $$-1 \equiv 36 \pmod{37}$$, calculons $$628 \mod 37$$ : $$37 \times 17 = 629$$, reste $$-1$$ ou $$36$$, donc vrai aussi. 3. **Conclusion problème 1 :** Options C et D sont correctes, mais généralement on choisit la forme positive, donc Option C est la meilleure. --- 4. **Énoncé du problème 2 :** Soit $$a$$ un entier tel que $$3a \equiv 6 \pmod{9}$$. Trouver $$a$$ modulo 3 ou 9. 5. **Résolution :** $$3a \equiv 6 \pmod{9}$$ Divisons par 3 (possible car 3 divise 9) : $$a \equiv 2 \pmod{3}$$ 6. **Options :** - A : $$a \equiv 2 \pmod{3}$$ correct. - B : $$a \equiv 2 \pmod{9}$$ pas forcément vrai. - C : $$2a \equiv 4 \pmod{6}$$ non équivalent. - D : $$a^2 \equiv 4 \pmod{9}$$ non donné. 7. **Conclusion problème 2 :** Option A est correcte. --- 8. **Énoncé problème 3 :** Le carré de tout nombre pair est congru à 4 modulo 8. 9. **Vérification :** Soit $$n=2k$$ pair. $$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$$ Modulo 8, si $$k$$ est pair, $$4k^2 \equiv 0$$, si $$k$$ est impair, $$4k^2 \equiv 4$$. Donc ce n'est pas toujours 4 modulo 8. 10. **Conclusion problème 3 :** Faux. --- 11. **Énoncé problème 4 :** $$35^{43} \equiv 1 \pmod{6}$$ ? 12. **Calcul :** $$35 \equiv 5 \pmod{6}$$ $$5^{43} \equiv (-1)^{43} = -1 \equiv 5 \pmod{6}$$ Donc non égal à 1. 13. **Conclusion problème 4 :** Faux. --- 14. **Énoncé problème 5 :** $$371^{238} \equiv 1 \pmod{5}$$ ? 15. **Calcul :** $$371 \equiv 1 \pmod{5}$$ Donc $$371^{238} \equiv 1^{238} = 1 \pmod{5}$$ 16. **Conclusion problème 5 :** Vrai. --- 17. **Énoncé problème 6 :** Si $$p$$ est premier et $$a \geq 2$$ entier, alors $$a^{p-1} - 1$$ est divisible par $$p$$. 18. **Ceci est le petit théorème de Fermat, donc vrai.** --- 19. **Énoncé problème 7 :** Trouver le reste de la division euclidienne de $$371^{238}$$ par 5. 20. **Calcul :** $$371 \equiv 1 \pmod{5}$$ Donc $$371^{238} \equiv 1^{238} = 1 \pmod{5}$$ 21. **Réponse :** 1 --- 22. **Énoncé problème 8 :** Le système $$\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{5} \\ n \equiv 1 \pmod{3} \end{cases}$$ admet-il une unique solution en entiers ? 23. **Analyse :** Les modules 5 et 3 sont premiers entre eux. Par le théorème chinois des restes, il existe une unique solution modulo $$15$$. 24. **Conclusion problème 8 :** Vrai. --- 25. **Énoncé problème 9 :** Pour tout entier naturel $$n$$, trouver le reste de $$7^{2n+1} + 5^{2n+1}$$ modulo 12. 26. **Calcul :** Calculons $$7^{2n+1} \pmod{12}$$ et $$5^{2n+1} \pmod{12}$$. - $$7^1 = 7$$, $$7^2 = 49 \equiv 1$$, donc $$7^{2n} \equiv 1$$, donc $$7^{2n+1} = 7^{2n} \times 7 \equiv 1 \times 7 = 7$$. - $$5^1 = 5$$, $$5^2 = 25 \equiv 1$$, donc $$5^{2n} \equiv 1$$, donc $$5^{2n+1} = 5^{2n} \times 5 \equiv 1 \times 5 = 5$$. Donc somme $$7 + 5 = 12 \equiv 0 \pmod{12}$$. 27. **Réponse :** 0 --- 28. **Énoncé problème 10 :** Solutions générales de $$3x \equiv 7 \pmod{8}$$. 29. **Résolution :** Trouvons l'inverse de 3 modulo 8. $$3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$$ Donc inverse de 3 est 3. Donc $$x \equiv 3 \times 7 = 21 \equiv 5 \pmod{8}$$. 30. **Solutions générales :** $$x = 5 + 8l, l \in \mathbb{Z}$$. 31. **Options :** - A : $$3 + 8l$$ non. - B : $$21 + 8l$$ équivaut à $$5 + 8l$$ modulo 8, car $$21 \equiv 5$$. - C : $$3 + 21l$$ non. 32. **Conclusion problème 10 :** Option B est correcte.