1. **Énoncé du problème :** Francis dispose de 99 cartes numérotées de 1 à 99. Il effectue 99 tours de retournement : au tour $k$, il retourne toutes les cartes dont le numéro est multiple de $k$. On cherche : a. Quelles cartes sont face numérotée visible à la fin ? b. Combien de fois la carte numéro 72 a-t-elle été retournée ? 2. **Formule et règle importante :** Une carte est retournée à chaque diviseur de son numéro. Par exemple, la carte $n$ est retournée autant de fois qu'elle a de diviseurs. - Si un nombre a un nombre pair de diviseurs, la carte finit face cachée. - Si un nombre a un nombre impair de diviseurs, la carte finit face visible. Or, seuls les carrés parfaits ont un nombre impair de diviseurs. 3. **Application pour la question a :** Les cartes qui restent face visible sont celles dont le numéro est un carré parfait $ 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, ..., 9^2=81$ car $10^2=100 > 99$. Donc les cartes visibles sont : $1,4,9,16,25,36,49,64,81$. 4. **Application pour la question b :** La carte 72 est retournée autant de fois qu'elle a de diviseurs. Trouvons les diviseurs de 72 : $72 = 2^3 \times 3^2$ Le nombre total de diviseurs est $(3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12$. Donc la carte 72 a été retournée 12 fois. **Réponses finales :** - a. Les cartes visibles sont celles numérotées par les carrés parfaits $1,4,9,16,25,36,49,64,81$. - b. La carte numéro 72 a été retournée 12 fois.