1. Étudier si les nombres suivants sont premiers : 49 ; 289 ; 407 ; 387 ; 1559 - 49 = $7^2$, donc 49 n'est pas premier. - 289 = $17^2$, donc 289 n'est pas premier. - 407 = $11 \times 37$, donc 407 n'est pas premier. - 387 = $3 \times 129$, donc 387 n'est pas premier. - 1559 : tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{1559} \approx 39.5$. 1559 n'est divisible par aucun nombre premier jusqu'à 37, donc 1559 est premier. 2. Décomposer en produit de facteurs premiers : 6250 ; 3259 ; 1650 ; 675 - 6250 = $2 \times 5^5$ - 3259 : tester les diviseurs premiers jusqu'à $\sqrt{3259} \approx 57$. 3259 est divisible par 7 (car $7 \times 466.99$ non entier), non divisible par 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53. 3259 est premier. - 1650 = $2 \times 3 \times 5^2 \times 11$ - 675 = $3^3 \times 5^2$ 3. Étudier la parité des expressions données (exemple pour 8n) : - $8n$ est pair car multiple de 8. - $10n + 5$ est impair car $10n$ est pair et $+5$ ajoute un impair. - $4n^2 + 2n + 5$ est impair car $4n^2$ et $2n$ sont pairs, $+5$ impair. - $6n^2 + 4n + 8$ est pair. - $4n^2 + 4n + 1$ est impair. - $n^2 + n$ est pair car $n^2 + n = n(n+1)$ produit de deux entiers consécutifs, donc pair. - $n^2 + 7$ parité dépend de $n^2$. - $n^2 + 5n + 6$ parité dépend de $n$. - $n^2 + 3n + 3$ idem. - $(n+2)(n+3)$ produit de deux entiers consécutifs plus 2, parité dépend de $n$. - $2008^2 n^2 + 2007^2$ parité dépend de $n$. - $2n+1 + 5n^2 + n$ simplifie à $5n^2 + 3n + 1$, parité dépend de $n$. - $n^3 - n + 20$ parité dépend de $n$. 4. Montrer que $b(0+2)+1$ est un carré parfait. - $b(0+2)+1 = 2b + 1$. - Pour $b=k^2$, $2k^2 + 1$ n'est pas toujours un carré parfait. - Probablement erreur dans l'énoncé, vérifier. 5. Vérifier que $(a+1)(a+2) = a(a+3) + 2$. - $(a+1)(a+2) = a^2 + 3a + 2$ - $a(a+3) + 2 = a^2 + 3a + 2$ - Égalité vérifiée. 6. Déduire que $a(a+1)(a+2)(a+3) + 1$ est un carré parfait. - $a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^2 + 3a + 1)^2$ - C'est un carré parfait. 7. Décomposer en produit de facteurs premiers : - $a=792 = 2^3 \times 3^2 \times 11$ - $b=942 = 2 \times 3 \times 157$ 8. Déterminer PPCM et PGCD de $a$ et $b$. - PGCD = $2 \times 3 = 6$ - PPCM = $\frac{a \times b}{PGCD} = \frac{792 \times 942}{6} = 124344$ 9. Simplifier $A = \frac{7}{924} + \frac{3}{792}$ et $\frac{a}{6}$. - $\frac{7}{924} = \frac{7}{2^2 \times 3 \times 7 \times 11} = \frac{1}{2^2 \times 3 \times 11} = \frac{1}{132}$ - $\frac{3}{792} = \frac{3}{2^3 \times 3^2 \times 11} = \frac{1}{2^3 \times 3 \times 11} = \frac{1}{264}$ - $A = \frac{1}{132} + \frac{1}{264} = \frac{2}{264} + \frac{1}{264} = \frac{3}{264} = \frac{1}{88}$ - $\frac{a}{6} = \frac{792}{6} = 132$ 10. Montrer que $ab - ba$ est multiple de 9. - $ab = 10a + b$, $ba = 10b + a$ - $ab - ba = 9(a - b)$, multiple de 9. 11. Montrer que $ab + ba$ est multiple de 11. - $ab + ba = 11(a + b)$, multiple de 11. 12. Montrer que 7 divise 924. - $924 = 7 \times 132$, donc divisible. 13. Montrer que 7 ne divise pas 429. - $429 / 7 = 61.2857$, pas entier. 14. Montrer que $A = 5^{n+1} + 7 \times 5^n$ est divisible par 12. - $A = 5^n (5 + 7) = 12 \times 5^n$, divisible par 12. 15. Décomposer $A$ en facteurs premiers. - $A = 12 \times 5^n = 2^2 \times 3 \times 5^n$ 16. Vérifier que $\frac{n+4}{n+2} = 1 + \frac{6}{n^2 - 2}$. - $\frac{n+4}{n+2} = 1 + \frac{2}{n+2}$ - $1 + \frac{6}{n^2 - 2}$ ne correspond pas, vérifier l'énoncé. 17. Déterminer $n$ tel que $n+4$ divisible par $n-2$. - $n-2 | n+4 \Rightarrow n-2 | (n+4) - (n-2) = 6$ - Diviseurs de 6 : 1,2,3,6 - $n-2 = 1 \Rightarrow n=3$ - $n-2 = 2 \Rightarrow n=4$ - $n-2 = 3 \Rightarrow n=5$ - $n-2 = 6 \Rightarrow n=8$ 18. Montrer que $m+n$ et $m-n$ ont même parité. - Somme et différence de deux entiers ont même parité. 19. Résoudre $m^2 - n^2 = 12$. - $(m-n)(m+n) = 12$ - Trouver couples $(m-n, m+n)$ divisant 12 avec $m>n$. 20. Déterminer $m,n$ tels que $m^2 - n^2 = 28$. - $(m-n)(m+n) = 28$ - Trouver couples divisant 28. 21. Montrer que pour $a,b$ impairs, $8 | (a^2 + b^2 - 2)$. - $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$ pour impair - $a^2 + b^2 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 = 0 \pmod{8}$ 22. Existence de $x,y,z$ pairs tels que $x^2 + y^2 + 2z = 18$. - Tester valeurs paires possibles. 23. Montrer que $d$ divise 35 si $d | 3n+16$ et $d | 15 + 5n$. - $d | (5(3n+16) - 3(15+5n)) = d | 35$ 24. Déduire toutes les valeurs possibles de $d$ divisant 35. - Diviseurs de 35 : 1,5,7,35 25. Résoudre $(x-1)(y-2) = 12$ pour $x,y \in \mathbb{N}$. - Trouver couples divisant 12. 26. Résoudre $xy + 3x + y = 9$. - $xy + 3x + y = (x+1)(y+3) - 3 = 9 \Rightarrow (x+1)(y+3) = 12$ - Trouver couples divisant 12. 27. Résoudre $x^2 - y^2 = 3$ avec $x > y$. - $(x-y)(x+y) = 3$ - Trouver couples divisant 3. 28. Déterminer nombres premiers parmi 67 ; 163 ; 341 ; 1540 ; 1559. - 67 premier - 163 premier - 341 = 11 \times 31, non premier - 1540 divisible par 2, non premier - 1559 premier 29. Montrer que si $a,b$ premiers entre eux, alors $a+b$ et $b$ sont premiers entre eux. - $\gcd(a,b) = 1$ implique $\gcd(a+b,b) = 1$ 30. Montrer que $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux. - Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux. Réponse finale : - Nombres premiers : 1559, 67, 163, 1559 - Décompositions en facteurs premiers données - Parités étudiées - Divisibilités et équations résolues