1. Énonçons le problème : Un père fête son anniversaire le 1er mai, sa fille le 31 mai. Le 2 mai, l'âge du père en années est égal à l'âge de sa fille en mois. On cherche les âges possibles du père à la naissance de sa fille, sachant qu'il avait entre 25 et 45 ans. 2. Notons $P$ l'âge du père en années le 1er mai de l'année en question, et $F$ l'âge de la fille en années le 31 mai de la même année. 3. Le 2 mai, le père vient d'avoir $P$ ans (car son anniversaire est le 1er mai). 4. La fille aura $F$ ans le 31 mai, donc le 2 mai elle a presque $F$ ans, mais pas encore. Son âge exact en années au 2 mai est $F - \frac{29}{365}$ (car il y a 29 jours entre le 2 mai et le 31 mai). 5. Convertissons l'âge de la fille en mois au 2 mai : $$\text{âge fille en mois} = 12 \times \left(F - \frac{29}{365}\right)$$ 6. D'après l'énoncé, le père a le même âge en années que la fille en mois au 2 mai : $$P = 12 \times \left(F - \frac{29}{365}\right)$$ 7. Le père a eu la fille il y a $P - F$ années (car $P$ est son âge, $F$ celui de la fille). 8. On sait que $25 \leq P - F \leq 45$. 9. Exprimons $F$ en fonction de $P$ : $$P = 12F - \frac{12 \times 29}{365} \Rightarrow 12F = P + \frac{348}{365} \Rightarrow F = \frac{P}{12} + \frac{29}{365}$$ 10. Calculons $P - F$ : $$P - F = P - \left(\frac{P}{12} + \frac{29}{365}\right) = \frac{11P}{12} - \frac{29}{365}$$ 11. Appliquons la contrainte : $$25 \leq \frac{11P}{12} - \frac{29}{365} \leq 45$$ 12. Résolvons les inégalités : Pour la borne inférieure : $$\frac{11P}{12} - \frac{29}{365} \geq 25 \Rightarrow \frac{11P}{12} \geq 25 + \frac{29}{365} \Rightarrow P \geq \frac{12}{11} \times \left(25 + \frac{29}{365}\right)$$ Pour la borne supérieure : $$\frac{11P}{12} - \frac{29}{365} \leq 45 \Rightarrow \frac{11P}{12} \leq 45 + \frac{29}{365} \Rightarrow P \leq \frac{12}{11} \times \left(45 + \frac{29}{365}\right)$$ 13. Calculons les valeurs numériques : $$25 + \frac{29}{365} \approx 25.0795$$ $$45 + \frac{29}{365} \approx 45.0795$$ Donc : $$P \geq \frac{12}{11} \times 25.0795 \approx 27.35$$ $$P \leq \frac{12}{11} \times 45.0795 \approx 49.16$$ 14. Comme $P$ est l'âge du père le 1er mai, il doit être un entier entre 28 et 49 ans. 15. Pour chaque $P$ entier dans cet intervalle, calculons $F$ : $$F = \frac{P}{12} + \frac{29}{365}$$ 16. Vérifions que $F$ est cohérent (âge de la fille en années, donc positif et inférieur à $P$). 17. Conclusion : Le père avait entre 25 et 45 ans à la naissance de sa fille, donc $P - F$ est entre 25 et 45. Les âges possibles du père à la naissance de sa fille sont les valeurs entières de $P - F = \frac{11P}{12} - \frac{29}{365}$ pour $P$ entre 28 et 49. Par exemple, pour $P=36$ : $$F = \frac{36}{12} + \frac{29}{365} = 3 + 0.0795 = 3.0795$$ $$P - F = 36 - 3.0795 = 32.9205$$ Ce qui est entre 25 et 45, donc possible. Ainsi, les âges du père à la naissance de sa fille sont les entiers proches de $\frac{11P}{12} - \frac{29}{365}$ pour $P$ entre 28 et 49.