1. Énonçons le problème : Montrer par raisonnement par l'absurde que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \notin \mathbb{N}$. 2. Supposons par l'absurde que pour un certain $n \in \mathbb{N}^*$, il existe un $k \in \mathbb{N}$ tel que : $$\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} = k.$$ 3. Élevons au carré des deux côtés : $$\left(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}\right)^2 = k^2,$$ ce qui donne : $$n + 1 + n + 2\sqrt{n(n + 1)} = k^2,$$ soit $$2n + 1 + 2\sqrt{n(n + 1)} = k^2.$$ 4. Isolons la racine : $$2\sqrt{n(n + 1)} = k^2 - (2n + 1).$$ 5. Élevons à nouveau au carré : $$4 n (n + 1) = \left(k^2 - 2n - 1\right)^2.$$ 6. Développons le membre de droite : $$4 n^2 + 4n = k^4 - 2 k^2 (2n + 1) + (2n + 1)^2.$$ 7. Développons le terme carré : $$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1.$$ L'équation devient donc : $$4 n^2 + 4n = k^4 - 4 k^2 n - 2 k^2 + 4 n^2 + 4 n + 1.$$ 8. Soustrayons $4n^2 + 4n$ des deux côtés : $$0 = k^4 - 4 k^2 n - 2 k^2 + 1.$$ 9. Réorganisons : $$k^4 - 4 n k^2 - 2 k^2 + 1 = 0.$$ 10. Posons $x = k^2$. L'équation devient une quadratique en $x$ : $$x^2 - (4 n + 2) x + 1 = 0.$$ 11. Calculons le discriminant : $$\Delta = (4 n + 2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = (4n + 2)^2 - 4 = 16 n^2 + 16 n + 4 - 4 = 16 n^2 + 16 n.$$ 12. Le discriminant s'écrit $$\Delta = 16 n (n + 1).$$ 13. Les solutions sont $$x = \frac{4 n + 2 \pm 4 \sqrt{n (n + 1)}}{2} = 2 n + 1 \pm 2 \sqrt{n (n + 1)}.$$ 14. On a donc $$k^2 = 2 n + 1 \pm 2 \sqrt{n (n + 1)}.$$ 15. La valeur $k^2$ doit être un entier carré, or $2 \sqrt{n (n + 1)}$ n'est jamais un entier car $n (n + 1)$ est deux entiers consécutifs et donc pas un carré parfait. 16. Conclusion : Il est impossible que $k^2$ soit un entier carré, donc $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \notin \mathbb{N}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. **Réponse finale :** $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*, \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \notin \mathbb{N}.}$$