1. Énoncé du problème. Soit $n\in\mathbb{N}$, on pose $x=(n+1)^2+n^2-1$ et $y=4n+3$. 2. Étude de la parité de $x$. Calculons et simplifions $x$. $$x=(n+1)^2+n^2-1$$ $$=(n^2+2n+1)+n^2-1$$ $$=2n^2+2n$$ $$=2n(n+1)$$ Comme $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs, l'un d'eux est pair, donc $n(n+1)$ est pair. On peut donc écrire $n(n+1)=2k$ pour un certain entier $k$. En multipliant par 2 on obtient $x=2\cdot 2k=4k$. Ainsi $x$ est pair et en fait divisible par 4. 3. Étude de la parité de $y$. On a $$y=4n+3$$ Puisque $4n$ est divisible par 4 et donc pair, $4n\equiv 0\pmod{2}$. Donc $y\equiv 3\equiv 1\pmod{2}$. Ainsi $y$ est impair. De plus $y\equiv 3\pmod{4}$, donc $y$ n'est pas divisible par 4. 4. Réponse finale. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x$ est pair et multiple de 4, et $y$ est impair.