1. Énoncé du problème : Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $\sqrt{17n + 625} \in \mathbb{N}$ avec $n$ un nombre premier strictement supérieur à 17. 2. Posons $k = \sqrt{17n + 625}$, donc $k^2 = 17n + 625$. 3. On a $k^2 - 625 = 17n$. 4. Comme $625 = 25^2$, on peut écrire $k^2 - 25^2 = 17n$. 5. Factorisons la différence de carrés : $(k - 25)(k + 25) = 17n$. 6. Puisque $n$ est un nombre premier strictement supérieur à 17, et $17$ est premier, les facteurs $(k - 25)$ et $(k + 25)$ doivent être multiples de $17$ et $n$ dans un certain ordre. 7. Posons $k - 25 = 17a$ et $k + 25 = nb$ avec $a,b \in \mathbb{N}$, ou inversement. 8. La différence entre ces deux expressions est $(k + 25) - (k - 25) = 50 = nb - 17a$. 9. On cherche des entiers $a,b$ tels que $nb - 17a = 50$ avec $n$ premier $>17$. 10. Testons les valeurs premières $n > 17$ (19, 23, 29, 31, 37, ...), et vérifions si $17n + 625$ est un carré parfait. 11. Pour $n=19$, $17 \times 19 + 625 = 323 + 625 = 948$, qui n'est pas un carré parfait. 12. Pour $n=23$, $17 \times 23 + 625 = 391 + 625 = 1016$, pas un carré parfait. 13. Pour $n=29$, $17 \times 29 + 625 = 493 + 625 = 1118$, pas un carré parfait. 14. Pour $n=31$, $17 \times 31 + 625 = 527 + 625 = 1152$, pas un carré parfait. 15. Pour $n=37$, $17 \times 37 + 625 = 629 + 625 = 1254$, pas un carré parfait. 16. Pour $n=41$, $17 \times 41 + 625 = 697 + 625 = 1322$, pas un carré parfait. 17. Pour $n=43$, $17 \times 43 + 625 = 731 + 625 = 1356$, pas un carré parfait. 18. Pour $n=47$, $17 \times 47 + 625 = 799 + 625 = 1424$, pas un carré parfait. 19. Pour $n=53$, $17 \times 53 + 625 = 901 + 625 = 1526$, pas un carré parfait. 20. Pour $n=59$, $17 \times 59 + 625 = 1003 + 625 = 1628$, pas un carré parfait. 21. Pour $n=61$, $17 \times 61 + 625 = 1037 + 625 = 1662$, pas un carré parfait. 22. Pour $n=67$, $17 \times 67 + 625 = 1139 + 625 = 1764$, et $1764 = 42^2$ est un carré parfait. 23. Donc $n=67$ est la seule valeur première strictement supérieure à 17 telle que $\sqrt{17n + 625} \in \mathbb{N}$. --- Problème suivant : Calculer $a^6 + b^6$ sachant que $a,b \in \mathbb{R}$, $a + b = 1$ et $a^2 + b^2 = 2$. 1. On sait que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1^2 = 1$. 2. Or $a^2 + b^2 = 2$, donc $1 = 2 + 2ab \Rightarrow 2ab = 1 - 2 = -1 \Rightarrow ab = -\frac{1}{2}$. 3. Calculons $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 1^3 - 3 \times (-\frac{1}{2}) \times 1 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$. 4. Calculons $a^6 + b^6 = (a^3)^2 + (b^3)^2 = (a^3 + b^3)^2 - 2a^3b^3$. 5. Or $a^3b^3 = (ab)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$. 6. Donc $a^6 + b^6 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$. --- Problème suivant : Montrer que si 9 divise $4^n + 15n - 1$, alors 9 divise $4^{n+1} + 15n + 14$. 1. Supposons que $9 \mid 4^n + 15n - 1$, c'est-à-dire $4^n + 15n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$. 2. On veut montrer que $4^{n+1} + 15n + 14 \equiv 0 \pmod{9}$. 3. Remarquons que $4^{n+1} = 4 \times 4^n$. 4. Donc $4^{n+1} + 15n + 14 = 4 \times 4^n + 15n + 14$. 5. Modulo 9, $15n \equiv 6n$ car $15 \equiv 6 \pmod{9}$. 6. On a donc $4^{n+1} + 15n + 14 \equiv 4 \times 4^n + 6n + 14 \pmod{9}$. 7. Par hypothèse, $4^n + 15n - 1 \equiv 0 \Rightarrow 4^n + 6n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$. 8. Donc $4^n \equiv -6n + 1 \pmod{9}$. 9. Substituons dans l'expression : $4 \times 4^n + 6n + 14 \equiv 4(-6n + 1) + 6n + 14 = -24n + 4 + 6n + 14 = -18n + 18 \equiv 0 \pmod{9}$. 10. Ainsi, $9$ divise $4^{n+1} + 15n + 14$. --- Réponses finales : - Les entiers naturels premiers $n > 17$ tels que $\sqrt{17n + 625} \in \mathbb{N}$ sont $n=67$. - $a^6 + b^6 = \frac{13}{2}$ sous les conditions données. - La divisibilité par 9 est démontrée comme demandé.