1. Énoncé du problème : Étudier le sens de variation de la suite $u_n = \frac{e^{2n}}{5^{n+2}}$ définie sur $\mathbb{N}$. 2. Formule et méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite, on peut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. 3. Calcul du rapport : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{e^{2(n+1)}}{5^{(n+1)+2}}}{\frac{e^{2n}}{5^{n+2}}} = \frac{e^{2n+2}}{5^{n+3}} \times \frac{5^{n+2}}{e^{2n}} = e^2 \times \frac{1}{5} = \frac{e^2}{5}.$$ 4. Analyse du rapport : - Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est croissante. - Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est décroissante. 5. Valeur numérique : - $e \approx 2.718$, donc $e^2 \approx 7.389$. - Ainsi, $\frac{e^2}{5} \approx \frac{7.389}{5} = 1.4778 > 1$. 6. Conclusion : La suite $u_n$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ car le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$.