1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(t) = \cos\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right)$$, die die momentane Änderungsrate der Lufttemperatur an einem Sommertag beschreibt. Gesucht sind: a) Zeitspannen, in denen die Temperatur zu- bzw. abnimmt. b) Zeitpunkte der schnellsten und langsamsten Temperaturänderung. c) Zeitpunkte der minimalen und maximalen Temperatur. d) Maximale und minimale Tagestemperatur, wenn um 12 Uhr die Temperatur 20 °C beträgt. e) Interpretation des Integrals $$\int_t^{t+4} f(x) \, dx = 0$$ und ein möglicher Wert für $$t$$. 2. **Wichtige Regeln und Formeln:** - $$f(t)$$ ist die Änderungsrate der Temperatur, also $$f(t) = T'(t)$$. - Temperatur nimmt zu, wenn $$f(t) > 0$$, ab wenn $$f(t) < 0$$. - Die Temperatur $$T(t)$$ erhält man durch Integration von $$f(t)$$. - Die maximale/minimale Temperatur entspricht den Extremstellen von $$T(t)$$, also den Nullstellen von $$f(t)$$ mit Vorzeichenwechsel. - Die schnellste Änderung der Temperatur entspricht den Extremstellen von $$f(t)$$, also den Nullstellen von $$f'(t)$$. 3. **Lösung a): Zeitspannen der Temperaturzunahme und -abnahme** - Temperatur nimmt zu, wenn $$f(t) > 0$$. - $$f(t) = \cos\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right) > 0$$. - Die Kosinusfunktion ist positiv, wenn ihr Argument in $$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) + 2k\pi$$ liegt. - Setze $$\theta = \frac{2\pi}{24}t - \pi$$. - $$\theta > -\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{2\pi}{24}t - \pi > -\frac{\pi}{2} \Rightarrow t > 6$$. - $$\theta < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{2\pi}{24}t - \pi < \frac{\pi}{2} \Rightarrow t < 18$$. - Also: Temperatur nimmt zu in $$6 < t < 18$$ (6 bis 18 Uhr). - Temperatur nimmt ab in $$0 \leq t < 6$$ und $$18 < t \leq 24$$. 4. **Lösung b): Zeitpunkte der schnellsten und langsamsten Temperaturänderung** - Schnellste Änderung: Extremstellen von $$f(t)$$, also $$f'(t) = 0$$. - $$f'(t) = -\sin\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right) \cdot \frac{2\pi}{24} = 0$$. - Nullstellen von $$f'(t)$$ sind bei $$\sin\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right) = 0$$. - $$\frac{2\pi}{24}t - \pi = k\pi$$, also $$t = 12(k+1)$$. - Für $$k=0$$: $$t=12$$ (Mittag), für $$k=1$$: $$t=24$$. - Extremstellen von $$f(t)$$ bei $$t=12$$ und $$t=24$$. - $$f(12) = \cos(0) = 1$$ (Maximum), $$f(24) = \cos(\pi) = -1$$ (Minimum). - Langsamste Änderung: Nullstellen von $$f(t)$$, also $$f(t) = 0$$. - $$\cos\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right) = 0$$. - $$\frac{2\pi}{24}t - \pi = \pm \frac{\pi}{2} + k\pi$$. - Für $$k=0$$: $$t=0$$ und $$t=18$$. 5. **Lösung c): Zeitpunkte der minimalen und maximalen Temperatur** - Temperatur $$T(t)$$ hat Extremstellen, wenn $$f(t) = T'(t) = 0$$. - Nullstellen von $$f(t)$$ sind bei $$t=0$$ und $$t=18$$ (siehe b). - Um zu bestimmen, ob Minimum oder Maximum: - Für $$t=0$$: $$f(t)$$ wechselt von negativ zu positiv (Temperatur steigt), also Minimum. - Für $$t=18$$: $$f(t)$$ wechselt von positiv zu negativ (Temperatur fällt), also Maximum. 6. **Lösung d): Maximale und minimale Tagestemperatur** - Gegeben: $$T(12) = 20$$ °C. - $$T(t) = \int f(t) dt + C$$. - $$f(t) = \cos\left(\frac{2\pi}{24}t - \pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{12}t - \pi\right)$$. - Integriere: $$T(t) = \int \cos\left(\frac{\pi}{12}t - \pi\right) dt + C = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{12}t - \pi\right) + C$$. - Setze $$t=12$$ und $$T(12) = 20$$: $$20 = \frac{12}{\pi} \sin(0) + C = 0 + C \Rightarrow C = 20$$. - Also: $$T(t) = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{12}t - \pi\right) + 20$$. - Maximaltemperatur bei $$t=18$$: $$T(18) = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 18 - \pi\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \pi\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \cdot 1 + 20 = 20 + \frac{12}{\pi} \approx 23.82$$ °C. - Minimaltemperatur bei $$t=0$$: $$T(0) = \frac{12}{\pi} \sin(-\pi) + 20 = \frac{12}{\pi} \cdot 0 + 20 = 20$$ °C. Tatsächlich ist $$\sin(-\pi) = 0$$, aber wir müssen prüfen den Wert bei $$t=6$$ (Minimum der Sinusfunktion): - Minimum der Temperatur ist bei $$t=6$$ (Minimum von $$T(t)$$), berechnen: $$T(6) = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 6 - \pi\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 20 = \frac{12}{\pi} \cdot (-1) + 20 = 20 - \frac{12}{\pi} \approx 16.18$$ °C. 7. **Lösung e): Interpretation des Integrals $$\int_t^{t+4} f(x) dx = 0$$** - Das Integral $$\int_t^{t+4} f(x) dx = T(t+4) - T(t)$$ beschreibt die Temperaturänderung in einem Zeitraum von 4 Stunden. - $$=0$$ bedeutet, dass sich die Temperatur in diesem Zeitraum nicht ändert (gleicher Anfangs- und Endwert). - Ein möglicher Wert für $$t$$ ist z.B. $$t=0$$, da die Funktion $$f(t)$$ eine Periode von 24 Stunden hat und sich positive und negative Flächen über 4 Stunden ausgleichen können. **Endergebnis:** a) Temperatur nimmt zu in $$6 < t < 18$$, ab in $$0 \leq t < 6$$ und $$18 < t \leq 24$$. b) Schnellste Änderung bei $$t=12$$ und $$t=24$$, langsamste bei $$t=0$$ und $$t=18$$. c) Minimale Temperatur bei $$t=0$$, maximale bei $$t=18$$. d) Maximale Temperatur ca. 23.82 °C, minimale ca. 16.18 °C. e) Integral bedeutet keine Temperaturänderung in 4 Stunden, z.B. bei $$t=0$$.