1. **Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ sur $[0; +\infty[$**. La fonction est définie par $$f_n(x) = \frac{e^{-nx}}{x^{5/2}} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right).$$ - Pour $x > 0$, $e^{-nx} \to 0$ très rapidement quand $n \to +\infty$. - Cependant, $x^{-5/2}$ diverge en $0$, ce qui pose problème pour la convergence uniforme sur $[0; +\infty[$. - De plus, $\ln(1 + 1/n) \sim \frac{1}{n}$ pour $n$ grand. **Étude près de $0$ :** Pour $x$ proche de $0$, $f_n(x) \approx \frac{1}{x^{5/2}} \ln(1 + 1/n)$ car $e^{-nx} \approx 1$. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x^{5/2}}$ n'est pas bornée sur $[0, \delta]$ pour tout $\delta > 0$. Donc, la convergence ne peut pas être uniforme sur $[0; +\infty[$. **Conclusion :** La suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0; +\infty[$. 2. **Convergence uniforme et normale de la série de terme général $f_n$ sur $\mathbb{R}_+^*$**. - Sur $\mathbb{R}_+^* = (0, +\infty)$, $x$ est strictement positif, donc $x^{-5/2}$ est fini. - Pour chaque $x > 0$, $f_n(x) \to 0$. - Pour la convergence uniforme sur tout intervalle $[a, +\infty)$ avec $a > 0$, on peut majorer : $$|f_n(x)| \leq \frac{e^{-n a}}{a^{5/2}} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ qui tend vers $0$ uniformément. - Donc la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout intervalle $[a, +\infty)$ avec $a > 0$. - Pour la convergence normale, on regarde la somme des normes : $$\sum_{n=1}^\infty \sup_{x > 0} |f_n(x)|.$$ - Comme $\sup_{x > 0} f_n(x)$ est infini (proche de $0$), la convergence normale sur $\mathbb{R}_+^*$ n'est pas assurée. --- 3. **Déterminer et représenter l'ensemble $D$ des couples $(a,b)$ tels que $$I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^b (1+x^2)^a}$$ converge.** - Étude en $0$ : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^b (1+x^2)^a} \sim \int_0^1 x^{-b} dx,$$ qui converge si et seulement si $-b > -1 \iff b < 1$. - Étude en $+\infty$ : $$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^b (1+x^2)^a} \sim \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^b x^{2a}} = \int_1^{+\infty} x^{-b - 2a} dx,$$ qui converge si et seulement si $-b - 2a < -1 \iff b + 2a > 1$. **Donc,** $$D = \{(a,b) \in \mathbb{R}^2 : b < 1 \text{ et } b + 2a > 1\}.$$ 4. **Montrer que pour $(a,b) \in D$, en posant $u = 1/x$, on a $$I(a,b) = I(a, 2 - b - 2a).$$** - Changement de variable $u = 1/x$, donc $x = 1/u$, $dx = -\frac{1}{u^2} du$. - L'intégrale devient : $$I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^b (1+x^2)^a} = \int_{+\infty}^0 \frac{-\frac{1}{u^2} du}{(1/u)^b (1 + (1/u)^2)^a} = \int_0^{+\infty} \frac{u^{b-2}}{(1 + u^{-2})^a} du.$$ - Simplifier le dénominateur : $$(1 + u^{-2})^a = \left(\frac{u^2 + 1}{u^2}\right)^a = \frac{(1 + u^2)^a}{u^{2a}}.$$ - Donc : $$I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{u^{b-2}}{\frac{(1 + u^2)^a}{u^{2a}}} du = \int_0^{+\infty} \frac{u^{b-2} u^{2a}}{(1 + u^2)^a} du = \int_0^{+\infty} \frac{u^{b - 2 + 2a}}{(1 + u^2)^a} du.$$ - Posons $c = b - 2 + 2a$, alors $$I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{u^c}{(1 + u^2)^a} du = I(a, -c) = I(a, 2 - b - 2a).$$ --- 5. **Déterminer le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n \geq 1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sin(n) x^n.$$** - Le terme général est $$a_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sin(n) x^n.$$ - Pour le rayon de convergence, on regarde $$\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} \left|\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sin(n)\right|^{1/n} |x|.$$ - Comme $\ln(1 + 1/n) \sim 1/n \to 0$ mais $\ln(1 + 1/n)^{1/n} \to 1$ et $|\sin(n)|^{1/n} \to 1$, on a $$\limsup |a_n|^{1/n} = |x|.$$ - Donc le rayon de convergence est $R = 1$. 6. **Développer en série entière la fonction $$f(x) = \ln\left(\frac{1 + x^2}{x^2}\right).$$** - On écrit $$f(x) = \ln(1 + x^2) - \ln(x^2) = \ln(1 + x^2) - 2 \ln|x|.$$ - Pour $|x| < 1$, on développe $$\ln(1 + x^2) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{n}.$$ - Donc $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{n} - 2 \ln|x|.$$ - La série entière est donc $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{n}$$ avec un terme logarithmique singulier en $0$. --- 7. **Fonction périodique $f$ de période $2\pi$ définie par $f(t) = t$ sur $[-\pi, \pi]$ :** 1. **Représenter $f$ sur $[-2\pi, 2\pi]$**. - $f$ est une fonction en dents de scie (sawtooth wave) périodique de période $2\pi$. - Sur $[-2\pi, -\pi]$, $f(t) = t + 2\pi$ (translation de la période). - Sur $[\pi, 2\pi]$, $f(t) = t - 2\pi$. 2. **Déterminer les coefficients de Fourier de $f$**. - Coefficients : $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi t dt = 0,$$ car $t$ est impair. - Pour $n \geq 1$, $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi t \cos(nt) dt = 0,$$ car $t \cos(nt)$ est impair. - Pour $n \geq 1$, $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi t \sin(nt) dt.$$ - Intégration par parties : $$b_n = \frac{2 (-1)^{n+1}}{n}.$$ 3. **Écrire les cinq premiers termes de la série de Fourier** : $$f(t) \sim 2 \sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1} \frac{\sin(nt)}{n} = 2 \left(\sin t - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} - \frac{\sin 4t}{4} + \frac{\sin 5t}{5}\right).$$