1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $\sin(x)$ est bijective. 2. Rappel : Une fonction est bijective si elle est à la fois injective (chaque valeur de l'ensemble d'arrivée correspond à au plus une valeur de l'ensemble de départ) et surjective (chaque valeur de l'ensemble d'arrivée est atteinte par au moins une valeur de l'ensemble de départ). 3. La fonction $\sin(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ n'est pas bijective car elle est périodique et prend plusieurs fois les mêmes valeurs. 4. Cependant, si on restreint le domaine à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, la fonction $\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]$ est strictement croissante. 5. Montrons l'injectivité sur ce domaine restreint : - Soient $x_1, x_2 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ tels que $\sin(x_1) = \sin(x_2)$. - Comme $\sin$ est strictement croissante sur cet intervalle, cela implique $x_1 = x_2$. 6. Montrons la surjectivité : - Pour tout $y \in [-1,1]$, il existe $x = \arcsin(y) \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin(x) = y$. 7. Conclusion : La fonction $\sin$ restreinte à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ est bijective de $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ vers $[-1,1]$. Réponse finale : $\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1,1]$ est bijective.