1. **التمرين 01**: لدينا المتتاليات: $$U_n = \frac{n^2 + 2}{n + 2}, \quad V_n = \frac{1}{n} - (-1)^n, \quad W_n = n^2 - 10n + 30$$ - **احسب الحدود الأربعة الأولى:** $$U_0 = \frac{0^2 + 2}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$U_1 = \frac{1 + 2}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1$$ $$U_2 = \frac{4 + 2}{2 + 2} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$U_3 = \frac{9 + 2}{3 + 2} = \frac{11}{5} = 2.2$$ $$V_1 = \frac{1}{1} - (-1)^1 = 1 - (-1) = 2$$ $$V_2 = \frac{1}{2} - (-1)^2 = 0.5 - 1 = -0.5$$ $$V_3 = \frac{1}{3} - (-1)^3 = \frac{1}{3} - (-1) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \approx 1.333$$ $$V_4 = \frac{1}{4} - (-1)^4 = 0.25 - 1 = -0.75$$ $$W_1 = 1 - 10 + 30 = 21$$ $$W_2 = 4 - 20 + 30 = 14$$ $$W_3 = 9 - 30 + 30 = 9$$ $$W_4 = 16 - 40 + 30 = 6$$ - **ادرس رتبة المتتاليات:** رتبة المتتالية تعني هل هي متزايدة أو متناقصة أو متذبذبة. - $U_n$: نلاحظ من القيم أن $U_0=1$, $U_1=1$, $U_2=1.5$, $U_3=2.2$، إذن $U_n$ متزايدة بعد $n=1$. - $V_n$: القيم تتذبذب بين موجبة وسالبة، إذن متتالية متذبذبة. - $W_n$: القيم 21، 14، 9، 6 متناقصة. - **هل هي متقاربة؟** - $U_n$: ندرس النهاية عندما $n \to \infty$: $$\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} = \lim_{n \to \infty} n = +\infty$$ إذاً $U_n$ غير متقاربة. - $V_n$: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$ لكن $(-1)^n$ يتذبذب بين 1 و-1، إذن $V_n$ غير متقاربة. - $W_n$: $$\lim_{n \to \infty} (n^2 - 10n + 30) = +\infty$$ غير متقاربة. 2. **التمرين 02**: المتتالية التراجعية: $$U_0 = 1, \quad U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2}$$ - **بيّن أن يمكن كتابة $U_{n+1}$ على الشكل:** $$U_{n+1} = a + \frac{b}{U_n + 2}$$ نبدأ من المعطى: $$U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2} = \frac{4(U_n + 2) - 8}{U_n + 2} = 4 - \frac{8}{U_n + 2}$$ إذاً: $$a = 4, \quad b = -8$$ - **برهن أن $1 \leq U_n < 2$ لجميع $n \in \mathbb{N}$:** نستخدم البرهان بالتراجع: - قاعدة البداية: $U_0 = 1$ تحقق $1 \leq 1 < 2$. - نفرض أن $1 \leq U_n < 2$. نحسب $U_{n+1}$: $$U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2}$$ لأن $U_n \geq 1$، المقام $U_n + 2 \geq 3$. نحسب الحد الأدنى: $$U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2} \geq \frac{4 \times 1}{1 + 2} = \frac{4}{3} > 1$$ نحسب الحد الأعلى: $$U_{n+1} = \frac{4U_n}{U_n + 2} < \frac{4 \times 2}{2 + 2} = \frac{8}{4} = 2$$ إذاً: $$1 < U_{n+1} < 2$$ - **ادرس رتبة المتتالية وهل هي متقاربة؟** نبحث عن النهاية $L$ إذا كانت موجودة: $$L = \frac{4L}{L + 2}$$ نضرب طرفي المعادلة في $L + 2$: $$L(L + 2) = 4L$$ $$L^2 + 2L = 4L$$ $$L^2 - 2L = 0$$ $$L(L - 2) = 0$$ إذاً $L = 0$ أو $L = 2$. لكن من البرهان السابق $1 \leq U_n < 2$، إذن $L = 2$. نبحث إذا كانت المتتالية متزايدة أو متناقصة: نحسب الفرق: $$U_{n+1} - U_n = \frac{4U_n}{U_n + 2} - U_n = \frac{4U_n - U_n(U_n + 2)}{U_n + 2} = \frac{4U_n - U_n^2 - 2U_n}{U_n + 2} = \frac{2U_n - U_n^2}{U_n + 2} = \frac{U_n(2 - U_n)}{U_n + 2}$$ لأن $1 \leq U_n < 2$، فإن $2 - U_n > 0$ و $U_n > 0$، والمقام موجب. إذاً الفرق موجب: $$U_{n+1} - U_n > 0$$ المتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى، إذن متقاربة إلى 2. 3. **التمرين 03**: - **أوجد الحد العام $U_n$ إذا كانت متتالية حسابية أساسها 3 و $U_4 = 20$:** صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية: $$U_n = U_0 + nr$$ حيث $r = 3$. نعوض $n=4$: $$20 = U_0 + 4 \times 3 = U_0 + 12$$ إذاً: $$U_0 = 20 - 12 = 8$$ الحد العام: $$U_n = 8 + 3n$$ - **نوع المتتالية $V_n = U_{3n+1}$:** بما أن $U_n$ حسابية، فإن $V_n$ هي متتالية حسابية أيضاً لأن: $$V_n = U_{3n+1} = 8 + 3(3n + 1) = 8 + 9n + 3 = 11 + 9n$$ أي متتالية حسابية أساسها 9. - **نوع المتتالية $W_n = e^{U_n}$:** بما أن $U_n$ حسابية، فإن $W_n$ هي متتالية هندسية لأن: $$W_n = e^{U_n} = e^{8 + 3n} = e^8 \times e^{3n} = e^8 (e^3)^n$$ وهي متتالية هندسية أساسها $e^3$. **الملخص:** - التمرين 01: حساب الحدود، دراسة الرتبة، والتقارب. - التمرين 02: إعادة كتابة المتتالية، البرهان بالتراجع، دراسة التقارب. - التمرين 03: إيجاد الحد العام، تحديد نوع المتتاليات.