1. Задачата е да се испита конвергенцијата на редот $$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!}$$ користејќи го Д’Аламберовиот критериум (Ratio test). 2. Д’Аламберовиот критериум вели: ако за редот со членови $a_n$ важи $$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|,$$ тогаш редот е: - конвергентен ако $L < 1$ - дивергентен ако $L > 1$ - не може да се заклучи ако $L = 1$ 3. За нашиот ред, членот е $$a_n = \frac{3^n}{n!}.$$ 4. Пресметуваме односот $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^n}{n!}} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3^{n} \cdot 3}{3^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{3}{n+1}.$$ 5. Сега пресметуваме границата $$L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0.$$ 6. Бидејќи $L = 0 < 1$, според Д’Аламберовиот критериум, редот $$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!}$$ е **конвергентен**. Одговор: Редот е конвергентен.