1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Parabel 4. Grades, symmetrisch zur y-Achse, mit der Form $$f(x) = ax^4 + bx^2 + c$$. Bedingungen: - $f(2) = 0$ - $f'(2) = 2$ - $f''(-1) = 0$ (Wendepunkt) Gesucht ist der Funktionsterm $f(x)$ und die Gleichung der Wendetangente. 2. **Ableitungen berechnen:** $$f'(x) = 4ax^3 + 2bx$$ $$f''(x) = 12ax^2 + 2b$$ 3. **Bedingungen einsetzen:** - Aus $f(2) = 0$ folgt: $$a(2)^4 + b(2)^2 + c = 16a + 4b + c = 0$$ - Aus $f'(2) = 2$ folgt: $$4a(2)^3 + 2b(2) = 32a + 4b = 2$$ - Aus $f''(-1) = 0$ folgt: $$12a(-1)^2 + 2b = 12a + 2b = 0$$ 4. **Gleichungssystem lösen:** Aus $12a + 2b = 0$ folgt: $$b = -6a$$ Einsetzen in $32a + 4b = 2$: $$32a + 4(-6a) = 2$$ $$32a - 24a = 2$$ $$8a = 2$$ $$a = \frac{1}{4}$$ Dann: $$b = -6 \times \frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$$ Einsetzen in $16a + 4b + c = 0$: $$16 \times \frac{1}{4} + 4 \times \left(-\frac{3}{2}\right) + c = 0$$ $$4 - 6 + c = 0$$ $$c = 2$$ 5. **Funktionsterm:** $$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2$$ 6. **Gleichung der Wendetangente:** Wendetangente liegt im Wendepunkt $x = -1$. Berechne $f(-1)$: $$f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{4} - 1.5 + 2 = 0.75$$ Berechne $f'(-1)$: $$f'(-1) = 4 \times \frac{1}{4}(-1)^3 + 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right)(-1) = 4 \times \frac{1}{4}(-1) + 2 \times \left(-\frac{3}{2}\right)(-1) = -1 + 3 = 2$$ Tangentenformel: $$y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1) = 2(x + 1) + 0.75 = 2x + 2 + 0.75 = 2x + 2.75$$ **Antwort:** Die Funktion lautet $$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2$$. Die Gleichung der Wendetangente ist $$y = 2x + 2.75$$.