1. **Problemstellung:** Wir suchen den Funktionsterm einer Parabel 4. Grades $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$. Gegeben sind: - Die Wendetangente im Ursprung (0,0) hat die Gleichung $y = x$. - Im Punkt $P(2|4)$ ist die Steigung $0$. 2. **Wichtige Regeln und Formeln:** - Die Wendetangente an der Stelle $x_0$ ist die Tangente an den Wendepunkt, also gilt $f''(x_0) = 0$ und die Tangentengleichung ist $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. - Die Steigung an einem Punkt $x$ ist $f'(x)$. 3. **Anwendung der Bedingungen:** - Da die Wendetangente im Ursprung ist, ist $x_0 = 0$ Wendestelle, also $f''(0) = 0$. - Die Tangentengleichung im Ursprung ist $y = x$, also ist die Steigung dort $f'(0) = 1$ und $f(0) = 0$. - Im Punkt $P(2|4)$ gilt $f(2) = 4$ und $f'(2) = 0$ (Steigung null). 4. **Ableitungen berechnen:** $$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$ $$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$$ $$f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c$$ 5. **Bedingungen einsetzen:** - $f(0) = e = 0$ - $f'(0) = d = 1$ - $f''(0) = 2c = 0 \Rightarrow c = 0$ - $f(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 16a + 8b + 0 + 2 \cdot 1 + 0 = 16a + 8b + 2 = 4$ - $f'(2) = 32a + 12b + 0 + 1 = 0 \Rightarrow 32a + 12b + 1 = 0$ 6. **Gleichungssystem lösen:** $$\begin{cases} 16a + 8b + 2 = 4 \\ 32a + 12b + 1 = 0 \end{cases}$$ Erste Gleichung: $$16a + 8b = 2$$ Zweite Gleichung: $$32a + 12b = -1$$ Multipliziere die erste Gleichung mit 1.5: $$24a + 12b = 3$$ Subtrahiere die zweite Gleichung von dieser: $$(24a + 12b) - (32a + 12b) = 3 - (-1)$$ $$-8a = 4 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$$ Setze $a$ in die erste Gleichung ein: $$16 \cdot (-\frac{1}{2}) + 8b = 2$$ $$-8 + 8b = 2 \Rightarrow 8b = 10 \Rightarrow b = \frac{5}{4}$$ 7. **Funktionsterm aufschreiben:** $$f(x) = -\frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{4}x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0 = -\frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{4}x^3 + x$$ **Antwort:** $$\boxed{f(x) = -\frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{4}x^3 + x}$$