1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$g(x) = 1 - x - e^{-2x}$$ معرفة على المجال $$[0, +\infty[$. 2. نحسب النهاية عندما يقترب $$x$$ من $$+\infty$$: - نعلم أن $$e^{-2x}$$ تؤول إلى 0 عندما $$x \to +\infty$$ لأن الأس سالب ويزداد. - إذن، $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (1 - x - e^{-2x}) = 1 - \lim_{x \to +\infty} x - 0 = -\infty$$. 3. لدراسة تغيرات الدالة، نحسب المشتقة الأولى: $$g'(x) = -1 - \frac{d}{dx} e^{-2x} = -1 - (-2 e^{-2x}) = -1 + 2 e^{-2x}$$. 4. ندرس إشارة المشتقة: - نحل المعادلة $$g'(x) = 0$$: $$-1 + 2 e^{-2x} = 0 \Rightarrow 2 e^{-2x} = 1 \Rightarrow e^{-2x} = \frac{1}{2}$$ - نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $$-2x = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \Rightarrow x = \frac{\ln 2}{2}$$. 5. نختبر إشارة $$g'(x)$$ حول النقطة $$x = \frac{\ln 2}{2}$$: - إذا $$x < \frac{\ln 2}{2}$$، فإن $$e^{-2x} > \frac{1}{2}$$، إذن $$g'(x) = -1 + 2 e^{-2x} > 0$$، الدالة متزايدة. - إذا $$x > \frac{\ln 2}{2}$$، فإن $$e^{-2x} < \frac{1}{2}$$، إذن $$g'(x) < 0$$، الدالة متناقصة. 6. إذن، الدالة تزداد على $$[0, \frac{\ln 2}{2}[$ ثم تنقص على $$]\frac{\ln 2}{2}, +\infty[$. 7. نحسب قيمة الدالة عند النقطة الحرجة: $$g\left(\frac{\ln 2}{2}\right) = 1 - \frac{\ln 2}{2} - e^{-2 \cdot \frac{\ln 2}{2}} = 1 - \frac{\ln 2}{2} - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{1 - \ln 2}{2}$$. 8. جدول التغيرات: $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac{\ln 2}{2} & +\infty \\\hline g'(x) & + & 0 & - \\\hline g(x) & g(0) = 1 - 0 - 1 = 0 & \frac{1 - \ln 2}{2} & -\infty \end{array}$$ الدالة تبدأ من 0 عند 0، تزداد حتى تصل إلى القيمة القصوى $$\frac{1 - \ln 2}{2}$$ عند $$x = \frac{\ln 2}{2}$$ ثم تنقص إلى $$-\infty$$ عند اللانهاية.