1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا الدالة $$g(x) = 1 - x - e^{-2x}$$ معرفة على المجال $$[0, +\infty[$. المطلوب هو حساب النهاية $$\lim_{x \to +\infty} g(x)$$ ثم دراسة تغييرات الدالة ورسم جدول التغيرات. 2. حساب النهاية عند $$+\infty$$: نلاحظ أن $$e^{-2x}$$ يقترب إلى 0 عندما $$x \to +\infty$$ لأن الأس سالب وكبير. إذاً: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (1 - x - e^{-2x}) = 1 - \lim_{x \to +\infty} x - \lim_{x \to +\infty} e^{-2x} = 1 - +\infty - 0 = -\infty$$ 3. دراسة تغييرات الدالة: نحسب المشتقة $$g'(x)$$: $$g'(x) = -1 - \frac{d}{dx} e^{-2x} = -1 - (-2 e^{-2x}) = -1 + 2 e^{-2x}$$ 4. ندرس إشارة المشتقة: نحل المعادلة $$g'(x) = 0$$: $$-1 + 2 e^{-2x} = 0 \Rightarrow 2 e^{-2x} = 1 \Rightarrow e^{-2x} = \frac{1}{2}$$ نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: $$-2x = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \Rightarrow x = \frac{\ln 2}{2}$$ 5. نختبر إشارة $$g'(x)$$ حول النقطة $$x = \frac{\ln 2}{2}$$: - إذا $$x < \frac{\ln 2}{2}$$، فإن $$e^{-2x} > \frac{1}{2}$$، إذن $$g'(x) = -1 + 2 e^{-2x} > 0$$ - إذا $$x > \frac{\ln 2}{2}$$، فإن $$e^{-2x} < \frac{1}{2}$$، إذن $$g'(x) < 0$$ 6. إذن الدالة $$g$$ تزداد على $$[0, \frac{\ln 2}{2}[$ وتتناقص على $$]\frac{\ln 2}{2}, +\infty[$. 7. نحسب قيمة الدالة عند النقطة الحرجة: $$g\left(\frac{\ln 2}{2}\right) = 1 - \frac{\ln 2}{2} - e^{-2 \cdot \frac{\ln 2}{2}} = 1 - \frac{\ln 2}{2} - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{1 - \ln 2}{2}$$ 8. جدول التغيرات: $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac{\ln 2}{2} & +\infty \\\hline g'(x) & & + & 0 & - \\\hline g(x) & g(0) = 0 & \text{قيمة عظمى} = \frac{1 - \ln 2}{2} & -\infty \end{array}$$ حيث: - عند $$x=0$$: $$g(0) = 1 - 0 - e^0 = 1 - 1 = 0$$ - الدالة تزداد من 0 إلى $$\frac{\ln 2}{2}$$ ثم تنقص إلى $$-\infty$$ عند $$+\infty$$. النتيجة النهائية: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$$ والدالة لها نقطة عظمى محلية عند $$x = \frac{\ln 2}{2}$$ بقيمة $$g\left(\frac{\ln 2}{2}\right) = \frac{1 - \ln 2}{2}$$.