1. Nous devons déterminer la limite $$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 1}$$. Divisons numérateur et dénominateur par $x^2$ (le plus grand degré) : $$\lim_{x\to -\infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}.$$ 2. Pour $$\lim_{x\to +\infty} \frac{2^x}{e^x}$$, écrivons sous forme exponentielle de base $e$ : $$2^x = e^{x \ln 2}$$ donc $$\frac{2^x}{e^x} = e^{x(\ln 2 - 1)}.$$ Puisque $\ln 2 \approx 0.693 < 1$, $x(\ln 2 - 1) \to -\infty$ donc la limite est 0. 3. Pour $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(3x) - 3\sin(x)}{x^4}$$, utilisons les développements de Taylor : $$\sin(3x) \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6} = 3x - \frac{27x^3}{6}$$ $$3\sin(x) \approx 3\left(x - \frac{x^3}{6}\right) = 3x - \frac{3x^3}{6}$$ La différence au numérateur : $$3x - \frac{27x^3}{6} - 3x + \frac{3x^3}{6} = - \frac{24x^3}{6} = -4x^3$$ Donc $$\frac{-4x^3}{x^4} = -\frac{4}{x} \to \pm\infty$$ selon le sens d'approche. La limite n'existe pas. 4. Pour $$\lim_{x\to 0} \frac{2 - \sin^2(x) - 2\cos(x)}{x^4}$$, développons : $$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}, \quad \sin^2 x \approx x^2$$ $$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$$ Donc $$2 - x^2 - 2\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = 2 - x^2 - 2 + x^2 - \frac{x^4}{12} = -\frac{x^4}{12}$$ Divisé par $x^4$, la limite est $$\lim_{x\to 0} -\frac{1}{12} = -\frac{1}{12}.$$ 5. $$\lim_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$. Puisque $|\sin(1/x)| \leq 1$, par théorème des gendarmes, $$|x \sin(1/x)| \leq |x| \to 0,$$ donc la limite vaut 0. 6. Pour $$\lim_{x\to +\infty} (x - 2) \sin\left(\frac{1}{x}\right),$$ faisons une substitution : $$\sin\left(\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$$ quand $x \to +\infty$. Donc $$(x - 2) \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x} \to 1.$$ 7. $$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$$. Développons : $$e^{x^2} \approx 1 + x^2 + \frac{x^4}{2}$$ $$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$$ Numérateur : $$(1 + x^2 + \frac{x^4}{2}) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) = x^2 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2} - \frac{x^4}{24} = \frac{3x^2}{2} + \frac{11x^4}{24}$$ Divisons par $x^2$ : $$\frac{3}{2} + \frac{11x^2}{24} \to \frac{3}{2}.$$ 8. Pour $$\lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x$$, reconnaissons la forme classique de l'exponentielle : $$\lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a.$$