1. Problemstellung: Wir sollen die Werte der folgenden Integrale mit der unteren Grenze 0 und der oberen variablen Grenze $t > 0$ bestimmen. 2. Wichtige Formel: Das bestimmte Integral von $f(x)$ von $a$ bis $b$ ist definiert als $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist. 3. a) Integral $$\int_0^t 3 \, dx$$ - Die Funktion ist konstant $f(x) = 3$. - Eine Stammfunktion ist $F(x) = 3x$. - Berechnung: $$F(t) - F(0) = 3t - 0 = 3t$$ 4. b) Integral $$\int_0^t \frac{3}{2} x \, dx$$ - Funktion: $f(x) = \frac{3}{2} x$. - Stammfunktion: $$F(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{4} x^2$$ - Berechnung: $$F(t) - F(0) = \frac{3}{4} t^2 - 0 = \frac{3}{4} t^2$$ 5. c) Integral $$\int_0^t (x + 1) \, dx$$ - Funktion: $f(x) = x + 1$. - Stammfunktion: $$F(x) = \frac{x^2}{2} + x$$ - Berechnung: $$F(t) - F(0) = \left(\frac{t^2}{2} + t\right) - 0 = \frac{t^2}{2} + t$$ Antworten: a) $$3t$$ b) $$\frac{3}{4} t^2$$ c) $$\frac{t^2}{2} + t$$ Diese Ergebnisse zeigen, wie die Integrale in Abhängigkeit von $t$ wachsen. Das Integral misst die Fläche unter der Kurve von 0 bis $t$.