1. Problem a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel mit Scheitelpunkt bei P(0,4) und Tangente bei N(2,0). 2. Die Parabel hat die Form $$y = ax^2 + bx + c$$. 3. Da der Scheitelpunkt bei P(0,4) liegt, gilt $$c = 4$$ und $$b = 0$$ (Scheitelpunkt bei x=0 bedeutet keine lineare Komponente). 4. Die Parabel schneidet die x-Achse bei etwa x=2, also gilt $$0 = a(2)^2 + 4 \Rightarrow 0 = 4a + 4 \Rightarrow a = -1$$. 5. Die Funktionsgleichung lautet somit $$y = -x^2 + 4$$. 6. Problem b) Gegeben ist die Tangente $$t(x) = 4.5x - 3.5$$ an den Graphen bei Punkt P nahe x=1, mit Nullstellen bei -2 und 0. 7. Die Funktion hat Nullstellen bei $$x = -2$$ und $$x = 0$$, also ist $$f(x) = kx(x+2)(x - r)$$ für einen weiteren Nullpunkt $$r$$ und Faktor $$k$$. 8. Die Tangente bei P hat Steigung 4.5, also $$f'(1) = 4.5$$, und der Funktionswert an P ist $$f(1) = t(1) = 4.5(1) - 3.5 = 1$$. 9. Setzen wir $$f(1) = k \cdot 1 \cdot 3 \cdot (1 - r) = 3k(1 - r) = 1$$. 10. Die Ableitung $$f'(x) = k[(x+2)(x-r) + x(x-r) + x(x+2)(-1)]$$. 11. Berechnen wir $$f'(1) = k[(3)(1-r) + 1(1-r) + 1(3)(-1)] = k[3(1-r) + (1-r) - 3] = k[4(1-r) - 3] = 4k(1-r) - 3k$$. 12. Setzen wir $$f'(1) = 4.5$$, also $$4k(1-r) - 3k = 4.5$$. 13. Aus Schritt 9: $$3k(1-r) = 1 \Rightarrow k(1-r) = \frac{1}{3}$$. 14. Ersetzen in Schritt 12: $$4 \cdot \frac{1}{3} - 3k = 4.5 \Rightarrow \frac{4}{3} - 3k = 4.5 \Rightarrow -3k = 4.5 - \frac{4}{3} = \frac{13.5 - 4}{3} = \frac{9.5}{3}$$. 15. Also $$k = -\frac{9.5}{9} = -\frac{19}{18}$$. 16. Nun $$k(1-r) = \frac{1}{3} \Rightarrow -\frac{19}{18}(1-r) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-r = -\frac{1}{3} \cdot \frac{18}{19} = -\frac{6}{19}$$. 17. Somit $$r = 1 + \frac{6}{19} = \frac{25}{19}$$. 18. Die Funktionsgleichung lautet: $$f(x) = -\frac{19}{18} x (x+2) \left(x - \frac{25}{19}\right)$$. 19. Problem c) Gegeben ist ein kubischer Graph mit Wendepunkt bei 0 und lokalem Maximum bei W(2,3). 20. Allgemeine Form: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$. 21. Wendepunkt bei 0 bedeutet $$f''(0) = 0$$. 22. Ableitungen: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 23. Setze $$f''(0) = 2b = 0 \Rightarrow b = 0$$. 24. Lokales Maximum bei W(2,3) bedeutet $$f(2) = 3$$ und $$f'(2) = 0$$. 25. Setze $$f(2) = 8a + 0 + 2c + d = 3$$. 26. Setze $$f'(2) = 12a + 0 + c = 0 \Rightarrow c = -12a$$. 27. Wendepunkt bei 0 bedeutet $$f'(0) = c = -12a$$, aber Wendepunkt ist auch ein Extrempunkt der Steigung, also konsistent. 28. Setze $$f(0) = d$$, der Wert bei 0 ist nicht gegeben, nehmen wir $$d = 0$$ für Einfachheit. 29. Ersetze in Schritt 25: $$8a + 2(-12a) + 0 = 3 \Rightarrow 8a - 24a = 3 \Rightarrow -16a = 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{16}$$. 30. Dann $$c = -12a = -12 \cdot -\frac{3}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$$. 31. Die Funktionsgleichung lautet: $$f(x) = -\frac{3}{16} x^3 + \frac{9}{4} x$$. Antworten: a) $$y = -x^2 + 4$$ b) $$f(x) = -\frac{19}{18} x (x+2) \left(x - \frac{25}{19}\right)$$ c) $$f(x) = -\frac{3}{16} x^3 + \frac{9}{4} x$$